２点境界値問題の解の厳密な個数と分岐現象

两点边值问题和分岔现象的精确解个数

• 批准号: 19K03595
• 负责人: 田中 敏
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Tohoku University (2020-2022)Okayama University of Science (2019)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K03595/
• 关键词: 楕円型方程式; 球対称解; 正値解; 一意性; 準線形; 解曲線の長さ; 多重存在性; 精度保証付き数値計算; 境界値問題; ２点境界値問題; 解の個数; 分岐現象; モース指数

一次元 Henon 型方程式の境界値問題の正値対称解の一意性と多重存在性について研究を行った. 問題に含まれるパラメータが特定の狭い範囲の外にあるとき, Pohozaev 型の恒等式を応用することにより, 正値対称解の２個の存在を仮定すると, 矛盾が生じることが証明できる. 残された一意性が不明のパラメータ範囲が狭いことから, すべてのパラメータに対して正値対称解の一意性が成立すると予想されるが, 実際はそうではなく, 残された範囲について数値計算を行うと, ３個の正値対称解が見つかる. 以前から, 以上のことが判明していたが, その多重存在を示す方法を見いだせないままであった. 今回の研究により, 精度保証付き数値計算による計算機援用証明の意味で, 正値対称解の多重存在を証明することができた. 具体的には, 考えている境界値問題の左端点を満たすような初期値問題を考え, その解が考えている区間に零点をもつ, あるいは, もたないという初期値を精度保証付き数値計算によって見つけた. それにより, 零点をもつ初期値ともたない初期値の間に, 境界値問題の解となる初期値が存在することになる. この方法で, ３個の正値偶関数解を見るけることができた.三次元単位球面内の円環領域上の scalar-field 方程式のディリクレ問題について研究を行った. 領域は三次元単位球面から北極と南極を中心とする同じ大きさの小さな２つの測地球を取り除いた円環領域を考えた. そのような問題の極角にのみ既存する正値解の存在性について考察した. 考えている領域は赤道について対称なので, 問題は赤道で対称な解をもち得る．方程式の非線形項の増大度と赤道で対称な解及び非対称な解の一意性と多重存在性についての関係性を明らかにした.

我们研究了一维亨逊型方程的边界值问题的阳性对称解的独特性和多重存在。通过应用POHOZAEV类型的身份，我们可以证明当问题中包含的参数超出某个狭窄范围时，就会出现矛盾。通过应用POHOZAEV类型身份，我们可以假设存在两个阳性对称解。由于剩余的参数范围尚不清楚，因此可以预期，正对称解决方案的唯一性对于所有参数都是有效的，但实际上并非如此，并且当在其余范围内执行数值计算时，可以找到三个阳性对称解。以前已经找到上述内容，但我们尚未找到一种显示阳性对称解决方案多重存在的方法。这项研究能够使用具有准确性保证的数值计算，从计算机辅助证明的意义上证明了阳性对称解决方案的多重存在。具体而言，我们考虑了一个初始值问题，它满足了我们正在思考的边界价值问题的左端点，并找到了一个在我们正在考虑的间隔内具有零的初始值，或者我们在我们正在思考的间隔中没有数值的计算，并具有准确的保证。这意味着有一个初始值将是对初始值和无零之间边界值问题的解决方案。通过这种方式，我们能够看到三个积极的偶数解决方案。我们研究了三维单位球体内环形区域上标量场方程的差异问题。我们考虑了一个环形区域，该区域在北部以相同尺寸的相同大小的地球和三维单位球体的南极。我们考虑了仅在这种问题的极角度存在的阳性溶液的存在。由于我们认为赤道的区域是对称的，因此问题可以在赤道上具有对称解。我们揭示了方程式术语的增加与赤道对称和不对称溶液的独特性和多重存在之间的关系。

项目成果

International Workshop on Nonlinear Elliptic Equations and Its Applications

非线性椭圆方程及其应用国际研讨会

• 发表时间: 2022

Universidad de Chile(チリ)

智利大学（智利）

Multiple existence of positive even solutions for a two point boundary value problem on some very narrow possible parameter set

某些非常窄的可能参数集上两点边值问题的正偶解的多重存在性

• DOI: 10.1016/j.jmaa.2022.126182
• 发表时间: 2022
• 期刊: J. Mathematical Analysis and Applications
• 作者: Naoki Shioji;Satoshi Tanaka;Kohtaro Watanabe
• 通讯作者: Kohtaro Watanabe

Perturbations of planar quasilinear differential systems

平面拟线性微分系统的扰动

• DOI: 10.1016/j.jde.2020.08.024
• 发表时间: 2021
• 期刊: Journal of Differential Equations
• 影响因子: 2.4
• 作者: Itakura Kenta;Onitsuka Masakazu;Tanaka Satoshi
• 通讯作者: Tanaka Satoshi

A note on the asymptotic behavior of radial solutions to quasilinear elliptic equations with a Hardy potential

• DOI: 10.1090/bproc/100
• 发表时间: 2021-10
• 期刊: Proceedings of the American Mathematical Society, Series B
• 作者: K. Itakura;Satoshi Tanaka