変分法を用いた非線形微分方程式の解析

使用变分法分析非线性微分方程

• 批准号: 10J01561
• 负责人: 生駒 典久
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2010
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2010 至 2011
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10J01561/
• 关键词: 最小化法; 基底状態解; 完全非線形楕円型作用素; 固有値と固有関数; 変分法; エネルギー汎関数; 最小元

研究の成果 平成23年度に実施した研究は以下の通りである.1.非線形光学の分野に現れる非線形連立Schrodinger方程式系の解析.2.完全非線形楕円型作用素に対する固有値,固有関数の研究.まず,1の研究の具体的な内容,意義等について説明する.得られた成果としては,屈折率を支配する方程式の拡散係数が0に収束させたとき,基底状態解とそのエネルギーの挙動を解明した.この系は本来屈折率が非局所的に影響を及ぼしている.しかし,拡散係数が0に収束するとその効果は局所的なものになると考えられる.このことを厳密な数学解析の手法を用いて証明を行った.この方程式系に関する結果としてはコンピューターを用いた数値解析の結果しかないように思われる.したがって,本年度に得られた厳密な数学解析の結果は意義を持っていると思われる.次に2の研究について述べる.得られた結果は,2次元以上の場合,球対称性と比較的弱い可積分条件を課した下で固有値,固有関数の列の存在,その単純性,完全性を示した.言い換えれば,球対称な固有関数を全て見つけ,全ての固有値の重複度は1であることも示した.この結果の意義等について説明する.まず,上の結果は微分ゲームの分野等において現れるHamilton-Bellman-Jacobi作用素等を含んでおり,大変広範な作用素に適用できる.さらに,重要に思われることは,作用素に対する可積分性の条件である.この可積分性の条件は,現在の完全非線形楕円型方程式の解の存在理論の視点から見ても,最良に近いものである.したがって,この部分だけを見ても重要性があるように思われる.また,これらの結果が,非線形項がある方程式系の解析に役立つことも期待できるので,今回の結果は意義があるものだと思われる.

研究结果2011年进行的研究如下：1。非线性同时出现在非线性光学领域的非线性施罗宾格方程系统的分析2。针对完美非线性椭圆运算符的特征值和本征函数的研究。首先，我们将解释研究1的特定内容和意义。所获得的结果是，当管理折射率的方程的扩散系数融合到0时，基态溶液及其能量行为被阐明。该系统本质上是折射率的，该指数具有非本地效应。但是，如果扩散系数收敛到零，则认为效果成为局部。使用严格的数学分析技术证明了这一点。似乎该方程系统的唯一结果是基于计算机的数值分析。因此，今年获得的严格数学分析结果具有重要意义。接下来，我们将讨论研究2。在征用球形对称性和相对较弱的集成条件下，得出的结论表明了特征值的存在，简单和完美，特征值，特征函数的序列。换句话说，我们发现了所有球形对称本征函数，还表明所有特征值的重叠均为1。我们解释了该结果的重要性。首先，以上结果包括出现在差异化游戏等领域的汉密尔顿 - 贝尔曼 - 雅各比运营商，并且非常广泛。它可以应用于操作员。更重要的是操作员的集成性条件。从解决当前完全非线性椭圆方程的解决方案理论的角度来看，这种可集成性的条件最接近最佳。因此，单独查看这部分似乎很重要。还可以预期，这些结果对于分析具有非线性术语的方程式系统将很有用，因此该结果是有意义的。

项目成果

非線形シュレディンガー連立方程式系の最小化問題

非线性薛定谔方程组的最小化问题

• 发表时间: 2011
• 作者: J.Hirata;N.Ikoma;K.Tanaka;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;監修高山忠雄;生駒典久
• 通讯作者: 生駒典久

球対称完全非線型楕円型作用素の固有値問題

球对称全非线性椭圆算子的特征值问题

• 发表时间: 2012
• 作者: J.Hirata;N.Ikoma;K.Tanaka;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久
• 通讯作者: 生駒典久

Existence of eigenvalues and eigenfunctions for radially symmetric fully nonlinear elliptic operators

径向对称全非线性椭圆算子特征值和特征函数的存在性

• 发表时间: 2011
• 作者: J.Hirata;N.Ikoma;K.Tanaka;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;監修高山忠雄;生駒典久;生駒典久;生駒典久;生駒典久
• 通讯作者: 生駒典久

A singular perturbation problem for coupled nonlinear Schrodinger equations

耦合非线性薛定谔方程的奇异摄动问题

• 发表时间: 2011
• 作者: J.Hirata;N.Ikoma;K.Tanaka;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;監修高山忠雄;生駒典久;生駒典久;生駒典久;生駒典久;生駒典久;生駒典久
• 通讯作者: 生駒典久

Existence of a minimizer for a coupled nonlinear Schrodinger equation

耦合非线性薛定谔方程极小值的存在性

• 发表时间: 2010
• 作者: J.Hirata;N.Ikoma;K.Tanaka;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;Gan-Yadam Amarsanaa;生駒典久;監修高山忠雄;生駒典久;生駒典久;生駒典久;生駒典久;生駒典久;生駒典久;生駒典久
• 通讯作者: 生駒典久