高階放物型障害物問題における形状解析～問題の幾何構造と動的障害物の活用～

高阶抛物线障碍问题的形状分析-问题的几何结构及动态障碍物的利用-

基本信息

批准号：
19J20749
负责人：
吉澤研介
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

平面内の曲線に対し, 曲率の p 乗積分 (p は一般のパラメタ) で与えられる汎函数 `p-曲げエネルギー’ が定義される.本年度はグラフ曲線に, 障害物を表す既知函数を下回らないという外的束縛が加えられた条件の下で p-曲げエネルギーを最小化せよという障害物問題を考察した. 障害物問題の解は, (i) Euler--Lagrange 方程式の特異性ないし退化性, (ii) 障害物の存在という正則性の損失が起こり得る二つの要因を抱えており, どちらが優位に働くかを調べることは Euler--Lagrange 方程式の非線形性や障害物の存在から一般に容易ではない. 本年度の研究において, 上記の二つの要因の内どちらが強く働くかはパラメタ p により変わることを示した. また, 応用として障害物問題の解の最適な正則性を得た. 特に, (i) が強く働く場合, 正則性の損失は変曲点という幾何的に意味をもつような点で起こる (また, 変曲点以外では正則性の損失が起きない) ことを示し, 問題の幾何構造と障害物の両者が共に特有の現象を引き起こすことを確認した. 研究成果は Dall’Acqua-Mueller-Okabe-Yoshizawa の論文として纏められ, 現在学術誌に投稿中である.また, 障害物による外的束縛条件を課さない平面曲線の中で p-曲げエネルギーの臨界点を考察し, 一般化楕円函数を用いた臨界点の完全分類, 及び最適な正則性を得た. 古典的, すなわち p が 2 の場合, 楕円函数による分類や正則性は臨界点の解析の上で非常に重要な役割を果たしてきたが, 本研究により古典的な分類を一般のパラメタ p への自然に拡張した結果を得たことになる. 研究成果は Miura-Yoshizawa の論文として纏められ, 現在学術誌に投稿中である.

对于平面中的曲线，定义了P-Multiple的曲率积分（P是一般参数）的一般函数“ P弯曲能”。在今年，我们检查了在图曲线不受外部限制的条件下，应将P弯曲能量最小化的障碍物问题，即它不低于代表障碍的已知功能。解决障碍问题的解决方案是，有两个因素可能导致判断性丧失：（i）Euler-lagrange方程的奇异性或退化性，以及（ii）存在障碍物的存在，通常不容易研究哪个是由于Euler-Lagrange方程的非线性而具有优势，而障碍物的非线性和存在障碍物的存在。在今年的研究中，我们展示了上述两个因素中的哪一个很大程度上取决于参数p。此外，我们获得了解决障碍问题作为应用程序的最佳规律性。特别是，当（i）强烈起作用时，规律性的丧失发生在具有几何意义的点（并且除拐点以外的任何一点都不会丧失规律性），我们确认几何结构和障碍物都会导致独特现象。 Dall'acqua-Mueller-Okabe-Yoshizawa总结了该研究结果，目前已提交给学术期刊。我们还检查了平面曲线中P弯曲能的临界点，该曲线不会因障碍而施加外部约束，并使用广义椭圆函数对临界点进行了完美的分类。经典，即当P为2时，使用椭圆函数的分类和规律性在临界点的分析中起着非常重要的作用，但是这项研究提供了自然将经典分类扩展到通用参数p的结果。该研究结果已由Miura-Yoshizawa编写为论文，目前已提交给学术期刊。