高階幾何学的変分問題の研究と勾配流の漸近解析への応用

高阶几何变分问题研究及其在梯度流渐近分析中的应用

• 批准号: 22K20339
• 负责人: 吉澤 研介
• 金额: $ 1.83万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-08-31 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K20339/
• 关键词: 曲げエネルギー; p-曲げエネルギー; 変分問題; 安定性; 境界値問題; 勾配流

本年度は曲率の p 乗ノルムで定義される p-曲げエネルギーと呼ばれる汎函数に対し、境界条件や長さ一定などの束縛条件を与えた下での臨界点について以下に挙げるような研究を行った。これは三浦達哉准教授 (東京工業大学) との共同研究に基づくものである。【1】曲線長と両端点間の距離が固定された束縛条件の下、 p-曲げエネルギーの臨界点を完全に分類した。加えて、各臨界点のエネルギーを定量的に比較することで最小元の一意性も示した。特に、両端点間の距離が 0 であるときの最小元として half-fold figure-eight p-elastica と呼ばれる臨界点が現れるが、この臨界点の両端点の接ベクトルのなす角が p について単調であることを示した。これにより、臨界点の幾何学的な特徴付けを与えたと見なすことができる。さらに、応用として p-曲げエネルギーと多重度に関する Li-Yau 型不等式を得た。論文は現在査読中。【2】上記で得た p-曲げエネルギーの臨界点の安定性を調べた。ここで臨界点が安定であるとは、許容集合内で局所最小元であることをいう。一般に、臨界点の安定性を調べるには汎函数の第二変分を調べることが有効であるが、p-曲げエネルギーの場合、汎函数がもつ非線形性から第二変分は非常に複雑に与えられる上に、汎函数の特異性から臨界点周りで第二変分が定義できない場合が生じる。そこで、本研究では複雑な第二変分の計算を用いない代わりに汎函数の幾何学的性質を用いることで、臨界点の安定性を判定する方法を新たに導入した。特に、この方法により、p が 2 以下である場合には大域最小元を除く全ての臨界点が不安定であることが導かれる。論文は現在査読中。

今年，我们对边界条件下的临界点（例如边界条件和恒定长度）进行了以下研究，该函数称为P弯曲能量，该功能由曲率的P-Power Norm定义。这是基于与Miura Tatsuya副教授（东京理工学院）的联合研究项目。 [1] P弯曲能的临界点在固定曲线长度和端点之间的距离的约束条件下完全分类。另外，每个临界点的能量的定量比较也显示了最小值的独特性。特别是，当两个端点之间的距离为0时，一个称为半图的p-弹性的临界点显示为最小值，我们已经证明，该临界点的两个端点的切线向量的角度对于p是单调的。这可以认为是对临界点的几何表征。此外，作为一种应用，还获得了P弯曲能和多重性的Li-Yau类型不平等。该论文目前正在同行评审。 [2]研究了上述P弯曲能的临界点的稳定性。在这里，“稳定”一词意味着关键点是允许集中的局部最小值。通常，检查一般函数的第二个变化是有效研究临界点的稳定性的第二个变化，但是在P弯曲能量的情况下，由于一般函数的非线性，因此对第二个变化非常复杂，并且一般函数的奇异性可能会导致第二个变化，而第二个变化可能无法定义临界点。因此，在这项研究中，我们引入了一种新方法，通过使用一般函数的几何特性来确定临界点的稳定性，而不是使用复杂的第二变化计算。特别是，此方法会导致所有关键点不稳定，除了p小于或等于2时的全局最小值，目前正在审查该论文。

项目成果

A Remark on Elastic Graphs with the Symmetric Cone Obstacle

• DOI: 10.1137/19m1307901
• 发表时间: 2021-01
• 期刊: SIAM J. Math. Anal.
• 作者: Kensuke Yoshizawa

An obstacle problem for the p-elastic energy

p 弹性能的障碍问题

• 发表时间: 2023
• 作者: 岡 大将;喜多航佑;松島慶;村山拓也;吉澤研介
• 通讯作者: 吉澤研介

Leipzig University(ドイツ)

莱比锡大学（德国）

The critical points of the elastic energy among curves pinned at endpoints

端点固定的曲线之间弹性能的临界点

• DOI: 10.3934/dcds.2021122
• 发表时间: 2022
• 期刊: Discrete & Continuous Dynamical Systems
• 影响因子: 1.1
• 作者: Yoshizawa Kensuke

Complete classification of planar p-elasticae

• DOI: 10.1007/s10231-024-01445-z
• 发表时间: 2024-04-01
• 期刊: ANNALI DI MATEMATICA PURA ED APPLICATA
• 影响因子: 1
• 作者: Miura，Tatsuya;Yoshizawa，Kensuke
• 通讯作者: Yoshizawa，Kensuke