Construction of new phase field methods for dynamical problems in the calculus of variations

变分法动力学问题新相场方法的构建

基本信息

批准号：
20K14343
负责人：
高棹圭介
金额：
$ 2.33万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は主に、平均曲率流方程式の障害物問題について研究した。2020年度に研究代表者は、周期境界条件における障害物付きの平均曲率流方程式について弱解の存在定理を得たが、本年度ではノイマン境界条件下で同様の結果が得られるかという問題について、研究協力者のKaterina Nik氏(ウィーン大学)と研究を行った。2020年度に得られた結果では、Allen-Cahn方程式に対し障害物に相当する外力項を加えて、適切な優解、劣解を構成し、これによって障害物の中に侵入しない平均曲率流方程式の弱解を得た。本年度も基本的には同様の方針で考察したが、2020年度で与えた優解、劣解は一般の領域には適用できない。この問題に対して、領域の形状に依存せず適用できる新しい優解、劣解を構成した。この結果により、凸領域での弱解の構成が可能となった。本年度ではさらに、非凸領域における弱解の構成も考えた。フェイズフィールド法による弱解の構成では、discrepancy measure(ディリクレエネルギーとポテンシャルエネルギーの差によって定義されるラドン測度)が特異極限で消滅することが要求される。凸領域では、最大値原理を用いてdiscrepancy measureの符号が変化しないことが示せるので、単調性公式等、弱解の存在で必要な評価式を比較的容易に得ることが出来る。しかし一般の非凸領域ではこの議論が使えないため、先行結果であるKagaya(2019)の方法を参考にし、非凸領域の場合でも単調性公式が得られることを明らかにした。次年度は引き続き弱解の構成を進め、得られた結果を論文にまとめ投稿する予定である。

今年，我们主要研究了平均曲率流程方程中的障碍问题。在2020年，研究人员获得了平均曲率流动方程的弱解决方案的存在定理，并在周期性边界条件下遇到了障碍，但是今年，他就研究伙伴Katerina Nik（维也纳大学）进行了研究伙伴Katerina Nik（维也纳大学）的问题，即在Neumann边界条件下是否可以获得类似结果。 2020年获得的结果是添加了与艾伦 - 卡方方程相对应的外力项，以形成适当的上方和下溶液，从而为平均曲率流动方程式获得了弱解，该方程未渗透到障碍物中。我们基本上与今年的政策讨论了相同的政策，但是2020年给出的上级和劣等解决方案不能应用于一般领域。对于这个问题，可以独立于该区域的几何形状应用新的上级解决方案和下溶液。该结果允许在凸区域构建弱溶液。今年，我们还考虑了非凸区域弱解决方案的结构。使用相位场方法的弱解构型要求在单数极限下消失的差异测量（由Dirichle能量和势能之间的差异定义的ra量度量）消失。在凸区域中，有可能证明差异测量的迹象不会使用最大值原理改变，因此可以相对容易地获得存在弱解决方案（例如单调公式）所需的评估公式。但是，由于该参数不能在一般的非凸区域中使用，因此我们使用了Kagaya（2019）的方法作为对先前结果的参考，并透露即使在非convex区域也可以获得单调公式。明年，我们计划继续组织薄弱的解决方案，并总结在论文中获得的结果并提交。