非線形シュレディンガー方程式における確率的効果

非线性薛定谔方程中的随机效应

基本信息

批准号：
20K03669
负责人：
福泉麗佳
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度の実績は大きく三つある。一つ目の成果は分散マネージメント光ファイバーという光ファイバー技術に関連する。その技術とは入力した波が元来持つ分散性によりエネルギー損失が起こるのを防ぐために分散性を周期的に符号変化させて、分散の平均をゼロとするようなファイバーを作るというものである。この技術により、長距離光通信が可能になる。しかしながら、この分散マネージメント光ファイバーのモデル方程式は、周期的な係数を考慮したMaxwell方程式の近似として、非線形Schrodinger方程式で表現されるものなのか以前から問われていた。この問いに対して、否定的な解答（例）を得、単独の非線形 Schrodinger方程式でなく、非線形 Schrodinger のシステムが近似であるはずだという結論を導いた。二つ目の成果は、電気対流におけるパターン形成の現象論的モデルにおけるノイズの影響についてである。具体的には加法的時空ノイズを加えた、線形作用素が非対称なSwift-Hohenberg方程式の大域解が存在することを証明し、適切なスケーリングのもとで、その解が確率的な複素 Ginzburg-Landau方程式の解によって近似されるであろうという予想を数値解析によって観察した。三つ目の成果としては、空間次元3次元以上、全空間においてストラトノビッチ型乗法的ノイズを持つ非線形対数型拡散方程式の解の大域存在を証明した。扱った方程式は多孔質媒体作用素の非線形冪ゼロの場合に相当し、Barbu-Rockner-Russo (2015) の論文で未解決問題とされていたが、この問題を解決した。

今年主要取得三项成果。第一个结果与称为色散管理光纤的光纤技术有关。该技术涉及通过周期性地改变色散符号来创建平均色散为零的光纤，以防止由于输入波的固有色散而造成的能量损失。该技术可实现长距离光通信。然而，长期以来，人们一直质疑这种色散管理光纤模型方程是否可以表示为非线性薛定谔方程，该方程是考虑周期系数的麦克斯韦方程的近似。我们对此问题得到了否定的答案（示例），并得出结论：非线性薛定谔系统应该是一个近似值，而不是单个非线性薛定谔方程。第二个结果涉及噪声对电对流模式形成唯象模型的影响。具体来说，我们证明了具有不对称线性算子的 Swift-Hohenberg 方程存在全局解，其中添加了加性时空噪声，并且在适当的缩放下，该解成为概率复数 Ginzburg-Landau 方程。通过数值分析观察到其将通过方程的解来近似的预测。第三个结果是，我们证明了具有斯特拉托诺维奇型乘性噪声的非线性对数扩散方程解在具有三个或更多空间维度的所有空间中的全局存在性。我们研究的方程对应于多孔介质算子的非线性零幂情况，我们解决了这个问题，这个问题在 Barbu-Rockner-Russo (2015) 的论文中被认为是一个未解决的问题。