非線形分散型方程式の孤立波解の安定性について

非线性色散方程孤立波解的稳定性

基本信息

批准号：
17740071
负责人：
福泉麗佳
金额：
$ 0.9万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2005
资助国家：
日本
起止时间：
2005 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17740071/
关键词：
関数解析学関数方程式論解析学解析評価数理物理変分法

项目摘要

(i)次ページの論文[2][4]において,非一様媒質の光導波管を表す非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性及び不安定性の考察をした.ここでいう安定性とは.定在波解に小さな摂動を加えて時間発展させても、やはり定在波解に近い状態であり続けるという意味であるが,定在波解の安定性が,非一様媒質の屈折率を表す関数の,遠方での減衰オーダーや.原点での特異性のオーダーに依存する事を明らかにした.さらに,一様な媒質を考えた場合と比較すると,定在波解が不安定になりやすいということがわかった.非一様媒質における非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性の研究は,1980年代後半にAkhmediev, Jones, Grillakis, Shatahand Straussらによって3層媒質という特別な場合について分岐理論を用いて調べられていたが,一般的な媒質の場合に分岐理論を適用しようとすると,考え得る非線形構造に制限がかかってしまう.そこで,より一般的な媒質に関して調査した.より一般的な媒質を考えることで,方程式の持つスケール不変性が崩れるため,定在波の振動数に関する漸近的な解析手段を応用し,問題解決を図った.(ii)非線形楕円型方程式の解について,複素数値関数の解の指数減衰とそのシャープな減衰オーダーについて考察した(論文[1][3]).このような減衰オーダーは今までの手法では,常微分的な方法に頼っていたため取り扱う解が正値球対称であることが必要であった.しかし部分積分を基本にした非常に簡潔な証明によってより一般的な解についても適用できるよう拡張した.

(i) 在下一页的论文 [2] 和 [4] 中，我们考虑了表示非均匀介质中光波导的非线性薛定谔方程的驻波解的稳定性和不稳定性，这意味着即使很小。向驻波解添加扰动，并且允许解随时间演化，它仍将保持接近驻波解的状态。阐明了表示折射率的函数取决于远处的衰减阶数和原点处的奇异性阶数。此外，与考虑均匀介质的情况相比，驻波解的稳定性不稳定。 Akhmediev 在 20 世纪 80 年代末研究了非均匀介质中非线性薛定谔方程的驻波解，琼斯、格里拉基斯、沙塔汉德Strauss 等人使用分岔理论研究了三层介质的特殊情况，但是当尝试将分岔理论应用于一般介质时，我们研究了更一般的介质。由于分岔理论的尺度不变性。通过考虑更一般的介质，方程被分解，我们应用关于驻波频率的渐近分析方法来解决该问题。 (ii) 对于非线性椭圆方程的解，我们考虑了复值函数解的指数衰减及其急剧衰减阶数（论文[1][3]），由于该方法依赖于普通微分方法，因此它是一个复杂的问题。对于所处理的解必须具有正值球对称性。但是，它也可以通过基于偏积分的非常简单的证明应用于更一般的解。它被扩展如下。