A representation of the Teichmuller modular group as a group of rational transfomations and its applications to dynamical systems and Kleinian groups

Teichmuller 模群作为一组有理变换的表示及其在动力系统和 Kleinian 群中的应用

基本信息

批准号：
21K03271
负责人：
中西敏浩
金额：
$ 1.66万
依托单位：
Shimane University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

種数２の閉曲面のタイヒミュラー空間の大域座標系を用いた写像類群の研究をおこなった。双曲閉曲面上の閉測地線の長さはタイヒミュラー空間上の関数（測地的長さ関数）を定める。種数g>1の双曲閉曲面のタイヒミュラー空間は6g-5個の測地的長さ関数の組による座標系を許容するので，g=2の時は７個の測地的長さ関数によるタイヒミュラー空間の大域座標系が存在する。これら７個の測地的長さ関数が双曲曲面を一意化するフックス群(曲面の基本群の忠実かつ離散なPSL(2,R)表現)を共役の違いを除いて復元するが，そのフックス群を具体的に求める研究は多くのタイヒミュラー空間の研究の中でも欠如していた。研究業績の一つは，適切に選んだ７個の測地的長さ関数からフックス群の生成系の行列表現を求めたことである。さらにこの測地的長さ関数の座標系を用いて写像類群のタイヒミュラー空間上の作用が有理変換で表されることを示した。アールフォルスやベアスらによる研究で明らかになったようにタイヒミュラー空間とクライン群(PSL(2,C)の離散部分群)および双曲３次元多様体とは密接につながっている。円周上の曲面束の構造をもつ双曲３次元多様体は曲面群のベアス埋込みを用いた擬フックス群表現の空間の境界にあり，擬アノソフ的写像類の不動点を用いて構成される。私たちは上で述べた測地的長さ関数を複素化して曲面の基本群のPSL(2,C)表現の空間の座標系に拡張し，そこでも写像類群が有理変換群として作用することを用いてこのような双曲３次元多様体の例を見つける研究をおこなった。現在，その一例と考えられるものについて計算を行なっている。その群の元は16次の代数的数を原始元とする代数体に成分をもつSL(2,C)の行列であり，コンピュータによる数式処理を援用しても計算が大変であったが，もっとも困難な離散性の判定については最終段階に入っている。

我们使用属 2 闭曲面 Teichmuller 空间的全局坐标系研究了映射类群。闭双曲曲面上的闭测地曲线的长度决定了 Teichmuller 空间上的函数（测地线长度函数）。由于亏格 g>1 的双曲闭曲面的 Teichmuller 空间允许具有 6g-5 个测地长度函数的坐标系，因此当 g=2 时，使用具有 7 个测地长度函数的坐标系。 Teichmuller 空间中的全局坐标系。这七个测地线长度函数恢复了使双曲曲面唯一的 Fuchs 群（曲面基本群的忠实且离散的 PSL(2,R) 表示），排除了共轭的差异，但是专门确定群的 Fuchs 群研究有许多泰希米勒太空研究都缺乏这一点。我的研究成果之一是从七个适当选择的测地线长度函数中导出福克斯群生成器的矩阵表示。此外，利用测地线长度函数的坐标系，我们证明了映射类群在 Teichmuller 空间上的作用可以通过有理变换来表达。正如 Ahlfors 和 Behrs 的研究表明，Teichmuller 空间与 Klein 群（PSL(2,C) 的离散子群）和双曲三维流形密切相关。圆周上具有表面丛结构的双曲3维流形位于使用表面群的Behrs嵌入的伪Fuchsian群表示的空间的边界处，并且使用伪Anosov映射类的不动点构造。我们将上述测地线长度函数复数，并将其扩展到基本曲面群的 PSL(2,C) 表示空间的坐标系，并表明映射类群在那里也充当有理变换群。使用这种方法进行研究以寻找此类双曲 3 维流形的示例。我们目前正在对这方面的一个例子进行计算。该群的元素是 SL(2,C) 矩阵，其分量在代数域中，其原始元素是 16 阶代数数，即使借助基于计算机的公式处理，计算也很困难。确定离散性的阶段，这是最困难的任务。