タイヒミュラー空間の研究とその応用

Teichmuller空间及其应用研究

基本信息

批准号：
06740107
负责人：
中西敏浩
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Shizuoka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740107/
关键词：
タイヒミュラー空間双曲幾何学リーマン面

项目摘要

尖点(puncture)や分岐点をもつ双曲的曲面のタイヒミュラー空間の実解析的理論を研究し、以下のような結果を得た。1.双曲幾何によって定まる量を座標糸に用いて、タイヒミュラー空間の実代数的超曲線としての具体的な表現をあたえた。尖点のみをもつ曲面のタイヒミュラー空間に関しては昨年度までに実代数的表現のための定義式をあたえていたが、それを分岐点をもつ、あるいは尖点と分岐点を両方もつような曲面に対しても定義式を計算して求めることができた。ただし、分岐点を含む曲面の場合のタイヒミュラー空間の表現は大変複雑であり、それを写像類群の研究などに応用することは今のところ困難であるように思える。そうした点を克服することが今後の課題といえる。2.古典的な測地線の長さを用いた座標系と上記1においてタイヒミュラー空間の実代数表現を得るために用いた座標系との関係を明らかにし、閉測地線の長さを用いた座標糸によってもタイヒミュラー空間の実代数的表現をあたえることが出来ることを示した。3.2における研究の副産物として、種数2の閉リーマン面のタイヒミュラー空間の大域的パラメトリゼーションをあたえるのに必要な閉測地線の長さによる座標の最小数が7であることの簡単な説明が出来る。このこと自体は一般の種数の場合も含めてP.Schmutzによって証明されているが、それに付け加えて7個の測地線をうまく選ぶことによつてそれらの長さでの座標糸を考えるとき、タイヒミュラー空間がやはり実代数的に表現できることもわかった。なお以上の研究はフィンランド・ヘルシンキ大学のMarjatta Naatanen氏と共同でおこなわれたものである。

我们研究了具有穿孔和分岔的双曲曲面Teichmuller空间的实解析理论，得到了以下结果。 1.以双曲几何确定的量为坐标线，将Teichmuller空间具体表示为实代数超曲线。直到去年，我们已经给出了仅具有尖点的曲面的 Teichmuller 空间的实代数表达式的定义公式，但我们将其应用于具有分叉或同时具有尖点和分叉的曲面，我也能够计算出为此定义公式。然而，Teichmuller空间在包含分叉点的曲面情况下的表示极其复杂，似乎很难将其应用于映射类群的研究。未来的挑战是克服这些点。 2. 阐明使用经典测地线长度的坐标系与上面1中用于获得Teichmuller空间的实代数表示的坐标系之间的关系，并使用闭合测地线的长度我们证明了a。 Teichmuller 空间的实代数表示也可以通过坐标线程给出。作为第 3.2 节工作的副产品，简要解释了以下事实：给出 2 号闭黎曼曲面的 Teichmuller 空间的全局参数化所需的闭测地线长度的最小坐标数为 7。可以做到。这个事实本身已经被 P. Schmutz 证明了，包括一般属的情况，但除此之外，当我们明智地选择七个测地线长度的坐标线时，我们还发现 Teichmuller 空间仍然可以表示用实代数术语来说。上述研究是与芬兰赫尔辛基大学的 Marjatta Naatanen 合作进行的。