Moduli spaces of harmonic maps

调和映射的模空间

基本信息

批准号：
21K03236
负责人：
長友康行
金额：
$ 1.75万
依托单位：
Meiji University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は、グラスマン多様体への調和写像に関する一般論を深化させ、そのモジュライ空間の一般的な記述に成功した。すでに得られていた結果をまとめた論文を再編集し、新たな結果を合わせ、論文として投稿した。高橋の定理とdo Carmo-Wallach（DW）理論の一般化を基盤とする本理論ではあるが、終域が球面の場合を対象とするオリジナルのDW理論と本質的に異なる現象が出現することが明確となった。これを理解するには、DW理論の一般化のために筆者が定義した「ゲージ同値性」による調和写像のモジュライ空間に、グラスマン多様体の普遍商束の引き戻し束上に誘導された接続のホロノミー群に対するベクトル束の構造群内における中心化群が作用することを前提とする必要がある。このこと自体はすでにわかっていたが、さらにオリジナルのDW理論で採用されていた「像同値性」の精密化の可能性が浮上した。その結果、一般論として、像同値性による調和写像のモジュライ空間がゲージ同値性によるモジュライ空間の上記した中心化群の作用による商空間であることを確立することができた。終域が球面の時にはホロノミー群も中心化群も自明となるため、この群作用を考慮する必要性はなく、その結果像同値性、ゲージ同値性によるモジュライ空間は一致する。そればかりではなく自然な位相によるコンパクト化を考えると、モジュライ空間の境界の点は他とは像同値ではない、より低次元の球面への調和写像に対応することがわかる。ところが一般には、境界にも中心化群が作用し、モジュライのコンパクト化の幾何学的意味が異なり、全測地的部分多様体であるグラスマン多様体を合わせて考える必要があることも理解できた。その結果、コンパクト化されたモジュライ空間の階層の重要性を認識できたことから、ある調和写像の「系列化にある調和写像」という概念を引き出すことに成功した。

今年，我们深化了调和映射到格拉斯曼流形的一般理论，并成功给出了其模空间的一般描述。总结已经获得的结果的论文被重新编辑，合并新的结果，然后提交论文。尽管该理论是基于高桥定理和 do Carmo-Wallach (DW) 理论的推广，但与原始 DW 理论（针对最终域为球面的情况）本质上不同的现象可能会出现。事情变得很清楚了。为了理解这一点，需要将格拉斯曼流形的万能商丛的回拉丛上导出的联系通过作者定义的“规范等价”应用到调和映射的模空间上来推广DW理论。有必要假设向量丛结构群内的中心群作用于完整群。这个事实已经为人所知，但现在提炼原始 DW 理论中采用的“图像等价”的可能性已经出现。因此，由于上述中心群的作用，我们能够一般性地确定，由于图像等价而导致的调和映射的模空间是由于规范等价而导致的模空间的商空间。当端域为球面时，完整群和中心群都很明显，因此无需考虑该群作用，因此图像等价和规范等价的模空间重合。此外，如果我们考虑自然拓扑的紧致化，我们可以看到模空间的边界点对应于低维球体的调和映射，它们在图像上不等于任何其他点。然而，总的来说，我能够理解中心群也作用于边界，模紧化的几何意义是不同的，并且有必要一起考虑格拉斯曼流形，它们都是大地测量子流形。由此，我们认识到了紧致模空间的层次结构的重要性，并成功地推导了某种调和映射的“级数调和映射”的概念。

项目成果

期刊论文数量（6）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

Holomorphic isometric embeddings of the projective space into quadrics

DOI：
10.1007/s10711-022-00689-4
发表时间：
2014-08
期刊：
Geometriae Dedicata
影响因子：
0.5
作者：
Yasuyuki Nagatomo
通讯作者：
Yasuyuki Nagatomo

Holomorphic maps into Grassmann manifolds (Harmonic maps into Grassmann manifolds III),

全纯映射到格拉斯曼流形（调和映射到格拉斯曼流形 III），

DOI：
10.1007/s10455-021-09765-6
发表时间：
2021
期刊：
Annals of Global Analysis and Geometry
影响因子：
0.7
作者：
Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;Yasuyuki Nagatomo;宇田川誠一;河井　公大朗;Seiichi Udagawa;Koga Isami and Nagatomo Yasuyuki;宇田川誠一;Kotaro Kawai;Yasuyuki Nagatomo
通讯作者：
Yasuyuki Nagatomo

複素射影直線から複素グラスマン多様体への同変調和写像の分類

从复射影线到复格拉斯曼流形的等变调和映射的分类

DOI：
发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
0
作者：
Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;Yasuyuki Nagatomo;宇田川誠一;河井　公大朗;Seiichi Udagawa;Koga Isami and Nagatomo Yasuyuki;宇田川誠一;Kotaro Kawai;Yasuyuki Nagatomo;Kotaro Kawai;古賀勇　長友康行
通讯作者：
古賀勇　長友康行

EQUIVARIANT HOLOMORPHIC EMBEDDINGS FROM THE COMPLEX PROJECTIVE LINE INTO COMPLEX GRASSMANNIAN OF 2-PLANES

从复射影线到2-平面复格拉斯曼的等变全息嵌入

DOI：
10.18910/88483
发表时间：
2022
期刊：
Osaka Journal of Mathematics
影响因子：
0.4
作者：
Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;Yasuyuki Nagatomo;宇田川誠一;河井　公大朗;Seiichi Udagawa;Koga Isami and Nagatomo Yasuyuki
通讯作者：
Koga Isami and Nagatomo Yasuyuki

University of Valencia(スペイン)

瓦伦西亚大学（西班牙）