リーマン球面からグラスマン多様体への正則等長写像の研究

黎曼球面到格拉斯曼流形的全纯等距映射研究

• 批准号: 18K13411
• 负责人: 古賀 勇
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Hiroshima University (2022)Meiji University (2018-2021)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18K13411/
• 关键词: 複素グラスマン多様体; 四元数射影空間; 3次元球面; 同変調和写像; 同変正則写像; 表現論; ベクトル束; ゲージ理論; 調和写像; 正則写像; 部分多様体; 正則ベクトル束; 調和解析; 正則等長写像; 同変写像; 等質ベクトル束; グラスマン多様体

まず，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変正則写像の構成と分類の問題についてすでに得られていた結果を論文にまとめた．（長友康行氏（明治大学）との共同研究）そしてこの論文はOsaka Journal of Mathematicsから出版された．次に上記結果の拡張として，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変調和写像の構成と分類の問題に関して前年度までに得られていた結果を論文にまとめた．この論文は現在投稿中である．次に同変調和写像の分類問題への取り組みとして，(1)複素射影空間から四元数射影空間への調和写像の分類問題と(2)3次元球面から複素射影空間への調和写像の構成と分類問題について研究を行った．これらの問題に注目している研究者はこれまでにもいたが従来の手法では考察が難しかったため研究が進んでいなかったが，ゲージ理論を応用することでより洗練された結果を得ることを研究代表者は研究協力者の長友氏との共同研究で見出した．現在までの進捗は以下のとおりである．(1) 四元数射影空間への調和写像は始集合上の階数2，次数0のベクトル束から誘導される．そのようなベクトル束の位相と接続が問題となるが，始集合が複素射影直線の場合は接続の分類に関してすでに調べており，2次元以上の複素射影空間上のベクトル束は次数が符号を除いて一致する直線束の直和になることがすぐにわかる．これらのことと四元数構造の存在に注意して，同変調和写像の分類結果を得た．(2)3次元球面から複素射影空間への全実写像の構成・分類問題に注目した．この時考えるべきベクトル束は階数1の自明束である．したがって3次元球面上の滑らかな関数全体のなす空間のラプラシアンによる固有分解を考えることで，Liによるこの問題の先行結果をゲージ理論的に書き直すことができた．

首先，我在一篇论文中总结了从复射影线到2阶复格拉斯曼流形的SU(2)等变全纯映射的构造和分类问题已经获得的结果。 （与长友康幸（明治大学）合作研究）该论文发表在《大阪数学杂志》上。接下来，作为上述结果的扩展，我们在一篇论文中总结了截至前一年关于从复射影线到2阶复格拉斯曼流形的SU(2)等变调和图的构造和分类的结果。Ta。目前该论文正在提交中。接下来，作为等变调和映射分类问题的方法，我们将（1）将调和映射从复射影空间分类到四元数射影空间，以及（2）构造从三维球体到三维球体的调和映射。并进行了分类问题的研究。尽管一直有研究人员关注这些问题，但他们的研究并没有取得进展，因为用常规方法很难考虑，但他们希望通过应用规范理论来获得更复杂的结果，首席研究员通过联合研究发现了这一点。与研究合作者 Nagatomo 先生。迄今为止的进展如下。 (1) 到四元数射影空间的调和映射是从初始集合上的秩为 2、度为 0 的向量束导出的。这种向量丛的拓扑和连通性是问题，但我们已经研究了当初始集合是复射影线时连通性的分类，并且二维或更多维的复射影空间上的向量丛具有不包括符号 It 的阶数。容易看出这是匹配直线束的直和。通过关注这些点和四元数结构的存在，我们获得了等变调和图的分类结果。 (2)我们关注从3维球体到复杂射影空间的所有实映射的构造和分类问题。在这种情况下要考虑的向量丛是一个秩为 1 的平凡丛。因此，通过考虑3维球面上所有光滑函数的空间的拉普拉斯特征分解，我们能够用规范理论重写Li先前对此问题的结果。

项目成果

Equivariant harmonic immersions of the complex projective line into the complex Grassmannians of two-planes

复射影线到二平面复格拉斯曼函数的等变调和浸入

• 发表时间: 2022
• 作者: Takahiro Kitayama;Tatsuki Kuwagaki;Isami Koga
• 通讯作者: Isami Koga

Equivariant harmonic immersions of the complex projective line into the comlex Grassmannian of two-planes

复射影线到二平面复格拉斯曼方程的等变调和浸入

• 发表时间: 2022
• 作者: H. Abe and P. Crooks;A. I. Suriajaya;桑垣樹;Isami Koga
• 通讯作者: Isami Koga

Equivariant minimal isometric immersions from the complex projective line into the complex Grassmannian manifolds of two-planes

从复射影线到二平面的复格拉斯曼流形的等变最小等距浸入

• 发表时间: 2019
• 作者: Jin Takahashi;Hikaru Yamamoto;桑垣樹;田神慶士;阿部拓;蓮井翔;古賀勇;Ryomei Iwasa and Wataru Kai;Hikaru Yamamoto;桑垣樹;阿部拓;Ade Irma Suriajaya;田神慶士;Wataru Kai;阿部拓;Sho Hasui;Ade Irma Suriajaya;Sho Hasui;田神慶士;山本光;古賀勇;Hiraku Abe;Ade Irma Suriajaya;Ryomei Iwasa and Wataru Kai;Isami Koga
• 通讯作者: Isami Koga

ベクトル束と誘導写像

向量丛和诱导图

• 发表时间: 2019
• 作者: Jin Takahashi;Hikaru Yamamoto;桑垣樹;田神慶士;阿部拓;蓮井翔;古賀勇
• 通讯作者: 古賀勇

複素射影直線から複素グラスマン多様体への同変調和写像の構成と分類

从复射影线到复格拉斯曼流形的等变调和映射的构造和分类

• 发表时间: 2019
• 作者: Jin Takahashi;Hikaru Yamamoto;桑垣樹;田神慶士;阿部拓;蓮井翔;古賀勇;Ryomei Iwasa and Wataru Kai;Hikaru Yamamoto;桑垣樹;阿部拓;Ade Irma Suriajaya;田神慶士;Wataru Kai;阿部拓;Sho Hasui;Ade Irma Suriajaya;Sho Hasui;田神慶士;山本光;古賀勇;Hiraku Abe;Ade Irma Suriajaya;Ryomei Iwasa and Wataru Kai;Isami Koga;桑垣樹;阿部拓;山本光;古賀勇;Ade Irma Suriajaya;Wataru Kai;古賀勇
• 通讯作者: 古賀勇