高次元ゲージ理論および四元数ケーラー多様体論

高维规范理论和四元数凯勒流形理论

基本信息

批准号：
09740068
负责人：
長友康行
金额：
$ 1.22万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至 1998
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は、四元数ケーラー多様体上にて定義される反自己双対方程式に対するモジュライ空間の「中心」と「境界」に関する興味深い現象を発見することに成功した。主な成果は次の通りである。1. 「次元簡約」および「運動量写像」なる概念を用いることにより、四元数射影空間上に存在する標準接続から導入される反自己双対接続から、複素グラスマン多様体上の反自己双対接続を導くことができることを示した。ここでの鍵となるのは、接続の構造群の還元を「次元簡約」において現れるヒッグス場を接続と可換なゲージ場と考えることにより説明することにある。この方法は、新たなベクトル束の構成法を与えることにもつながる。2. 超ケーラー多様体の自己双対接続のホロノミー代数は、可換であることを示した。しかしながら四元数ケーラー多様体の自己双対接続とは異なり、その一意性は成立しないことを例をもって示した。3. 「次元簡約」の定式化に伴い、四元数運動量写像に対するGalicki-Lawsonの公式の別証明を与えた。この観点からすれば、ケーラーおよび超ケーラー多様体上で定義される運動量写像と、四元数運動量写像を全く統一的に理解することが可能になる。4. モジュライの「境界」はすでにベクトル束に対応するものではないが、ある特異点集合をもつ「特異ベクトル束」として理解できる。この特異点集合を、例外群G_2およびSO(7)を等長変換群としてもつ四元数対称空間上で決定することに成功した。どちらの場合においても特異点集合として現れるのは、四元数部分多様体であり、またそのポアンカレ双対はベクトル束の第2チャーン類である。

今年，我们成功地发现了一个关于四元数凯勒流形上定义的反自对偶方程的模空间“中心”和“边界”的有趣现象。主要结果如下。 1. 通过使用“降维”和“动量映射”的概念，我们可以从四元射影上存在的标准连接引入的反自对偶连接导出复格拉斯曼流形上的反自对偶连接表明它可以导致。这里的关键是通过将“降维”中出现的希格斯场视为与连接可交换的规范场来解释连接的结构群的约简。该方法也为构建向量丛提供了一种新的方法。 2. 我们证明了超凯勒流形自对偶连通的完整代数是可交换的。然而，与四元数凯勒流形的自对偶联系不同，我们用一个例子证明了它的唯一性不成立。 3. 随着“降维”的提出，我们给出了四元数动量图的 Galicki-Lawson 公式的另一个证明。从这个角度来看，可以完全统一地理解在卡勒流形和超卡勒流形上定义的动量图以及四元数动量图。 4. 模的“边界”已经不对应于向量丛，而是可以理解为具有特定奇异点集合的“奇异向量丛”。我们成功地确定了四元数对称空间上的奇点集，其中例外群 G_2 和 SO(7) 作为等距变换群。在这两种情况下，显示为奇点集的是四元数子流形，其庞加莱对偶是向量丛的第二陈类。