ゲージ群とリー群の可換元のなす空間のホモトピー論

规范群和李群交换元空间的同伦论

• 批准号: 21J10117
• 负责人: 武田 雅広
• 金额: $ 0.96万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-28 至 2023-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21J10117/
• 关键词: リー群; 写像空間; ホモトピー余極限; 不変式環

私はリー群の可換元のなす空間に関しての研究および、それに関連してStanley Reisner環のSteenrod問題の研究を行った。リー群の可換元のなす空間に関する研究では、リー群の可換元のなす空間から分類空間の間の写像空間への写像の解析を行った。この写像は、幾何学的には平坦束のある種のモジュライと束のある種のモジュライの関係に対応している写像であり、曲面上の束に対応する場合には、AtiyahとBottにより有理ホモロジーに導く写像が全射になることが知られている。私は共同研究者とともに異なるアプローチで高次トーラスに対応する場合に、いつ有理ホモロジーに導く写像が全射になるかを判定し、その結果を論文にまとめ、arxivに公開した。その他同時進行でリー群の可換元のなす空間の新たな分解とその応用に関して研究を行った。新たな分解方法に関してはほぼ完成しており、サスペンション分解と組み合わせることで応用を得る方法を研究している。このことに関しては、これからも引き続き研究を進める。Stanley Reisner環のSteenrod問題に関する研究では、1本の論文を出版するに至った。Steenrod問題とはどのような次数付き環が空間のコホモロジー環として現れるか、という代数トポロジーの古典的な問題である。この問題は多項式環の場合には完全に解決されている。私はこの問題をStanley Reisner環という環について考えた。ホモトピー余極限での空間の構成や、古典的な不変式論の結果を用いることで、ある条件の下での必要十分条件を与えることに成功した。その結果は論文にまとめ、arxivに公開した。また一方で今年度はコロナ禍の影響が薄れたことで、数々の研究集会がオフラインで開催された。それらに参加し、リー群の可換元のなす空間の研究などについて、様々な研究集会において計13回公演させていただいた。

我对李群交换元形成的空间进行了研究，并对斯坦利·雷斯纳代数的Steenrod问题进行了相关研究。在我对李群交换元构成的空间的研究中，分析了从李群交换元构成的空间到分类空间之间的映射空间的映射。在几何上，这个映射对应于平面丛的某个模量与丛的某个模量之间的关系，而当它对应于曲面上的丛时，由 Atiyah 和 Bott 合理化可知该映射。这导致同源性变得满射。我和我的同事使用不同的方法来确定在处理高阶环面时导致有理同源的映射何时变得满射，并将结果编译成一篇论文，并将其发表在 arxiv 上。同时，对李群交换元构成的空间的一种新分解及其应用进行了研究。新的拆解方法已经基本完成，我们正在研究将其与悬架拆解相结合的方式来获得应用。我们将继续针对这个问题进行研究。他对斯坦利·雷斯纳环中斯廷罗德问题的研究导致发表了一篇论文。 Steenrod 问题是代数拓扑中的一个经典问题，该问题询问什么样的有序环在空间中表现为上同调环。这个问题在多项式环的情况下得到了彻底的解决。我用一个叫做斯坦利·雷斯纳环的戒指来思考这个问题。他利用同伦余界中空间的构造和经典不变量理论的结果，成功地提供了一定条件下的充要条件。结果总结在一篇论文中并发表在 arxiv 上。另一方面，今年，随着冠状病毒大流行的影响消退，许多研究会议在线下举行。我参加了这些活动，并在各种研究会议上总共做了13场表演，包括对李群交换元创建的空间的研究。

项目成果

Homotopy types of gauge groups over Riemann surfaces

黎曼曲面上规范组的同伦类型

• 发表时间: 2022
• 期刊: Algebraic & Geometric Topology
• 影响因子: 0.7
• 作者: Masaki Kameko;Daisuke Kishimoto;Masahiro Takeda
• 通讯作者: Masahiro Takeda

Steenrodの問題とStanley-Reisner環

斯坦罗德问题和斯坦利-赖斯纳环

• 发表时间: 2023
• 作者: Takashi Goto;Takashi Soyano;Meng Liu;Tomoko Mori;Masayoshi Kawaguchi;武田雅広
• 通讯作者: 武田雅広

Cohomology of the spaces of commuting elements in a Lie group

李群中交换元素空间的上同调

• 发表时间: 2021
• 作者: Masahiro Takeda

Steenrod problem and some graded Stanley-Reisner rings

Steenrod 问题和一些分级的 Stanley-Reisner 环

• 发表时间: 2023
• 期刊: Algebraic & Geometric Topology
• 影响因子: 0.7
• 作者: Hajime Ohtsu;Kazunori Hase;Shinya Ogaya;Shunsuke Kita;武田雅広
• 通讯作者: 武田雅広

リー群の可換元のなす空間のコホモロジー

李群交换元构成的空间的上同调

• 发表时间: 2022
• 作者: Shinsaku Funada;Daisuke Kan;Kyosuke Kuwano;Yoichi Shiota;Ryusuke Hisatomi;Takahiro Moriyama;Yuichi Shimakawa;Teruo Ono;Nobuyuki Nakamura;武田雅広;中村信之;武田雅広
• 通讯作者: 武田雅広