Projective geometry in arbitrary characteristic and its application to fundamental algebraic varieties

任意特征的射影几何及其在基本代数簇中的应用

基本信息

批准号：
22K03236
负责人：
古川勝久
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Josai University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03236/
关键词：
高階Secant多様体の特異点 Veronese多様体対称テンソルの分解の階数任意標数の代数多様体の射影幾何学代数多様体上の直線族(パラメーター空間)ガウス写像射影双対性高階secant多様体トーリック多様体任意標数の射影幾何学

项目摘要

代数多様体の射影幾何研究として, Gauss写像・射影双対性などにもとづく幾何的手法を用い, Veronese多様体の高階secant多様体の特異点などの性質について研究を行った.最初は階数k=1,2などの小さいkに関してk-secant多様体の調査を進めた. つぎに, それを一般のkに拡張しようとした際, k-secant多様体のincidence多様体にあらわれるある種のファイバーの次元が増大することから, 状況が複雑化して小さいkの場合と同様には議論を進められないことが明らかになった. この問題に対応するため, 接空間の様相を観察する射影幾何的手法について, 一層の精密化の必要性に迫られた.そうした点について, 具体例の計算や一般的状況での考察を行うことで, 手法を改善し一つづつ問題点を解消して, 研究を前進させることができた. 成果として, Veronese多様体の次元・次数やk-secant多様体の階数kごとに, いつどのような特異点が現れるか, あるいは現れないかの分類を得られた.以上のように研究が進展する中, 一方で, 細かな分類の対象が増加した結果として, 個々のケースについての幾何学的・あるいは対称テンソル等による代数的な考察を行うことにもなった. 特にいくつかの例外的な場合については, 高階secant多様体の複雑な定義多項式系の一部を得る必要があり, 幾何学的な状況による推論のもと, 計算機代数システムを利用したプログラムを使用することで, そうした式を得ることに成功した.また, Fano超曲面上の2次曲線族(パラメーター空間)の次元の調査について研究を行った. そこでは最後の段階で, ある次元の超曲面上の具体的な幾何の議論に帰着することになり, 射影幾何的な手法を用いることで問題解決に繋げられた.

作为代数簇的射影几何研究，我们使用基于高斯映射和射影对偶性的几何方法来研究维罗内簇的高阶割线簇的奇异性等性质。最初，我们研究了k-割线流形。对于小k，例如，2。接下来，当我们尝试将其扩展到一般k时，随着 k 割流形的关联流形中出现的某些纤维的维数增加，情况变得复杂，并且很明显，讨论不能以与小 k 的情况相同的方式进行。这个问题是为了应对因此，需要进一步细化观察切线空间各方面的射影几何方法。在这方面，通过计算具体例子并考虑一般情况，我们能够通过改进方法并逐一解决问题，我们能够推进我们的研究，最终，我们能够确定维罗内流形和 k 割流形的 k 阶的每个维度和度数何时以及出现什么奇点。我们能够将点分类为出现或不出现。另一方面，随着如上所述研究的进展，由于详细分类的对象数量增加，我们还对个别情况使用对称张量等进行了几何或代数考虑，特别是对于一些特殊情况，我们考虑了高阶割流形的复杂定义多项式系统的一部分，有必要获得这样的公式。并且通过使用基于几何情况推理的计算机代数系统的程序，我们成功地获得了这样的公式。此外，我们对 Fano 超曲面上的一族二次曲线（参数空间）的维数进行了研究。在最后阶段，我们最终讨论了特定维数超曲面上的具体几何问题，并通过使用射影几何来解决。技术。