Projective geometry in arbitrary characteristic and its application to fundamental algebraic varieties

任意特征的射影几何及其在基本代数簇中的应用

基本信息

批准号：
22K03236
负责人：
古川勝久
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Josai University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03236/
关键词：
高階Secant多様体の特異点 Veronese多様体対称テンソルの分解の階数任意標数の代数多様体の射影幾何学代数多様体上の直線族(パラメーター空間)ガウス写像射影双対性高階secant多様体トーリック多様体任意標数の射影幾何学

项目摘要

代数多様体の射影幾何研究として, Gauss写像・射影双対性などにもとづく幾何的手法を用い, Veronese多様体の高階secant多様体の特異点などの性質について研究を行った.最初は階数k=1,2などの小さいkに関してk-secant多様体の調査を進めた. つぎに, それを一般のkに拡張しようとした際, k-secant多様体のincidence多様体にあらわれるある種のファイバーの次元が増大することから, 状況が複雑化して小さいkの場合と同様には議論を進められないことが明らかになった. この問題に対応するため, 接空間の様相を観察する射影幾何的手法について, 一層の精密化の必要性に迫られた.そうした点について, 具体例の計算や一般的状況での考察を行うことで, 手法を改善し一つづつ問題点を解消して, 研究を前進させることができた. 成果として, Veronese多様体の次元・次数やk-secant多様体の階数kごとに, いつどのような特異点が現れるか, あるいは現れないかの分類を得られた.以上のように研究が進展する中, 一方で, 細かな分類の対象が増加した結果として, 個々のケースについての幾何学的・あるいは対称テンソル等による代数的な考察を行うことにもなった. 特にいくつかの例外的な場合については, 高階secant多様体の複雑な定義多項式系の一部を得る必要があり, 幾何学的な状況による推論のもと, 計算機代数システムを利用したプログラムを使用することで, そうした式を得ることに成功した.また, Fano超曲面上の2次曲線族(パラメーター空間)の次元の調査について研究を行った. そこでは最後の段階で, ある次元の超曲面上の具体的な幾何の議論に帰着することになり, 射影幾何的な手法を用いることで問題解決に繋げられた.

作为对代数歧管的投射几何形状的研究，我们使用了基于高斯映射和投影二元性的几何技术，并研究了Veronese歧管的高阶SCENT歧管的特性。我们最初对K-Secant歧管进行了调查，该歧管具有小k级k = 1和2。接下来，当我们试图将其扩展到一般的K时，某些纤维的尺寸是，某些纤维的尺寸出现在k-秒歧管的发病率中增加，这使情况变得更加复杂，并且在案例中无法以相同的方式进行讨论。为了解决这个问题，我们被迫进一步完善观察切线空间各个方面的投影几何方法。通过计算特定的示例并考虑一般情况，我们改进了该方法，并一一解决了问题。这项研究是先进的。结果，我们为每个维度和veronese歧管和k-secant歧管的何时以及出现的奇异性出现或不出现的奇异性获得了分类。随着上述研究的进行，随着详细分类的数量的增加，我们还使用几何或对称张量对单个病例进行了代数考虑。特别是，对于某些例外情况，我们需要获得一个复杂的定义高阶secant歧管的多项式系统的一部分，并且我们能够根据基于几何情况的推论使用计算机代数系统使用程序来获得此类方程。我们还对Fano Hypersurfaces上二次家族（参数空间）的尺寸进行了研究。在最后阶段，我们在给定维度的超出表面上讨论了混凝土几何形状。使用投影性的几何技术导致解决问题。