Arithmetic, Groups, and Monodromy
算术、群和单数
基本信息
- 批准号:1401419
- 负责人:
- 金额:$ 17.8万
- 依托单位:
- 依托单位国家:美国
- 项目类别:Standard Grant
- 财政年份:2014
- 资助国家:美国
- 起止时间:2014-08-15 至 2019-07-31
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
This proposal concerns the relation between two different areas of algebra: group theory, the abstract study of symmetry, and algebraic number theory, the study of algebraic numbers, like the square root of 2 (as opposed to transcendental numbers, like pi). The main link between these two fields is provided by algebraic geometry, the geometry of systems of polynomial equations in several variables. A key theme in the proposed work is monodromy, which encapsulates the symmetries revealed by a parametrized system as the parameter follows a closed loop. Monodromy problems arise in many settings, in both pure and applied mathematics. For instance some of the techniques under study in this proposal have been used by the proposer and others to determine which kinds of computations can be carried out by different kinds of quantum computer. Algebraic number theory has found important practical applications, especially in the development of modern cryptosystems.The theme of this proposal is group theory in relation to algebraic number theory. The main goal is to use group theory as a tool, for instance in analyzing images of l-adic Galois representations, or Mordell-Weil groups of abelian varieties over Galois extensions of the rationals. The secondary goal is to study groups, especially linear groups, using methods from number theory and algebraic geometry, including the circle method, etale cohomology, and deformation theory.
该提议涉及代数的两个不同领域之间的关系:群体理论,对称性的抽象研究和代数数理论,代数数的研究,例如2的平方根(与PI一样的超验数)。 这两个字段之间的主要链接由代数几何形状(几个变量中的多项式方程系统的几何形状)提供。 拟议作品中的一个关键主题是单片,它封装了由参数系统揭示的对称性,因为该参数遵循闭环。 在纯数学和应用数学中,在许多情况下都出现了单肌问题。 例如,提案者和其他人使用了该提案中研究的一些技术来确定可以通过不同类型的量子计算机来执行哪些计算。 代数数理论发现了重要的实际应用,尤其是在现代密码系统的发展中。该提案的主题是与代数数理论有关的群体理论。 主要目的是将群体理论用作工具,例如分析L-Adic Galois表示的图像,或者在理性的Galois扩展方面的Abelian品种的Mordell-Weil组。 第二个目标是使用数字理论和代数几何形状的方法,包括圆形方法,依托同居和变形理论,研究组,尤其是线性组。
项目成果
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