概率空间中非线性算子的不动点问题及其应用

Fixed point theory for nonlinear operators in probabilistic metric spaces is one of the important constituent parts of probabilistic analysis. Thus, the study on such realm is of paramount significance in further developing and enriching both the probabilistic metric space theory and nonlinear functional analysis. Based on some previously obtained results concerning fixed point theorems and topological degree theory in probabilistic metric spaces by the applicant, in this project, we will mainly focus on the following problems in two aspects by combining the iterative method, the topological degree method and the partial order method: First of all, we will obtain some new fixed point theorems for compatible-type and noncompatible mappings in probabilistic metric spaces by weakening the commutativity conditions of the mappings or generalize it to hybrid case. Also, we will study the existence and uniqueness of tripled coincidence points and fixed points for self-mappings under contractive conditions in ordered probabilistic metric spaces. Secondly, we will continue to deeply study the topological degree and fixed point index theory in probabilistic normed spaces. We will establish the fixed point index for semi-closed 1-set-contractive operators, and further investigate the calculations of topological degree and fixed point index for various kinds of nonlinear operators in Menger PN-spaces. Moreover, we will apply such results to study the solution of different nonlinear equations, especially some nonlinear integral equations.

概率度量空间中非线性算子的不动点理论是概率分析的重要研究内容，对于丰富和发展概率度量空间理论和非线性泛函分析均具有十分重要的意义。在申请人前期对概率度量空间中不动点问题及拓扑度理论取得的研究成果基础上，本项目将综合利用迭代方法、拓扑度方法与半序方法集中研究以下两方面问题：首先，通过减弱映射对可交换性条件或推广到混合情形，来获得概率度量空间中相容型或非相容型映射的新的不动点定理，并在半序概率度量空间中研究压缩条件下自映射的三重重合点与不动点的存在唯一性；其次，继续深入研究概率赋范空间中的拓扑度和不动点指数理论，建立Menger PN-空间中半闭1-集压缩算子的不动点指数，同时进一步研究Menger PN-空间中各类非线性算子的拓扑度与不动点指数计算，并应用于各种非线性方程，尤其是某些非线性积分方程解的讨论。

本项目主要对概率空间和其他类型空间中非线性算子的不动点与重合点、概率空间中非线性算子的固有值与固有元及广义量子门等问题进行了研究，获得了一批新成果，丰富和发展了概率空间中的非线性算子理论和不动点理论。. 首先，建立了Menger PM-空间中弱偏向映射对和偶然弱偏向映射对在不同压缩条件下的若干新不动点定理，在Z-P-S空间中研究了半闭1-集压缩算子的固有值与固有元存在的条件，利用半序方法，通过构造不同的压缩条件，研究了一类序压缩算子对的重合点存在性，同时，在半序Menger PM-空间中引入广义循环弱压缩映射的概念，并建立了关于此类映射的重合点定理。. 其次，给出了广义量子门的一个新等价刻画，证明了许多常见的算子类均为广义量子门，同时指出广义量子门全体所成集合和限制允许广义量子门全体所成集合为同一集合。. 再次，在Menger概率G-度量空间中引入两类压缩映射的概念，并证明了关于此两类映射的若干不动点定理，同时，引入广义Menger PM-空间以及映射对的三重公共不动点的概念，并研究了具有规函数的混合概率压缩的三重公共不动点的存在唯一性问题。. 最后，在偏b-度量空间中引入关于三个映射的一类扩张映射和一类广义弱扩张映射的定义，在此基础上建立了偏b-度量空间中关于此两类映射的一些公共不动点定理，并讨论了关于一类积分方程组的解的问题，同时，研究了锥度量空间中Ciric型广义压缩条件下两个非自映射对的公共不动点定理。.

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