Generalizations of Schur functions
Schur 函数的推广
基本信息
- 批准号:RGPIN-2015-03915
- 负责人:
- 金额:$ 1.46万
- 依托单位:
- 依托单位国家:加拿大
- 项目类别:Discovery Grants Program - Individual
- 财政年份:2018
- 资助国家:加拿大
- 起止时间:2018-01-01 至 2019-12-31
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
Schur functions were first studied by Cauchy in 1815, although they were named after Schur, who in 1901 showed that they were isomorphic to an irreducible character of a symmetric group under the Frobenius character map. Since then they have arisen in a variety of areas including algebraic geometry where Schur functions agree with Schubert classes in the cohomology ring of the complex Grassmannian, and quantum mechanics where they are related to quantum states.******They also form a basis of the Hopf algebra of symmetric functions. This algebra is a subalgebra of the Hopf algebra of quasisymmetric functions, whose functions are equally ubiquitous, arising in many guises including as probabilities with respect to a certain distribution on the symmetric groups, and together being the terminal object in the category of combinatorial Hopf algebras.******Therefore natural functions to study are quasisymmetric refinements of Schur functions, that is, quasisymmetric Schur functions. These are key functions to investigate as knowledge about such functions would immediately impact all of the aforementioned areas. Such functions were discovered by myself, Haglund, Luoto and Mason, and my overarching goal is to investigate these functions further and then to apply this new-found knowledge to well-known open problems.******For example, further properties I intend to investigate include the existence of a geometric Littlewood-Richarsdon rule for skew quasisymmetric Schur functions. This would give an algebraic geometric interpretation to quasisymmetric Schur functions, generalizing that of Schur functions described earlier.******As one application, I will determine a combinatorial rule to express Lie representations as a sum of quasisymmetric Schur functions. Then due to the intimate relationship between Schur functions and quasisymmetric Schur functions this result would have immediate impact, resolving the long-standing open problem in representation theory to find a combinatorial rule to express Lie representations as a sum of Schur functions.******Another avenue I intend to investigate is whether generalized Schur functions such as Schubert polynomials and Macdonald polynomials exhibit natural quasisymmetric refinements. These refinements would provide new tools for attacking long-standing open problems such as finding a product rule for Schubert polynomials and resolving the Macdonald polynomial conjectures known as ``Science Fiction''.**
Schur 函数最初由 Cauchy 于 1815 年研究,尽管它们是以 Schur 的名字命名的,Schur 于 1901 年证明它们同构于 Frobenius 特征映射下对称群的不可约特征。从那时起,它们出现在各个领域,包括代数几何(舒尔函数与复格拉斯曼上同调环中的舒伯特类一致)以及量子力学(它们与量子态相关)。 *****它们还形成了对称函数 Hopf 代数的基础。该代数是拟对称函数的 Hopf 代数的子代数,其函数同样普遍存在,以多种形式出现,包括作为对称群上特定分布的概率,并且一起成为组合 Hopf 代数范畴中的终端对象.********因此自然要研究的函数是Schur函数的拟对称细化,即拟对称Schur函数。这些是需要研究的关键功能,因为有关这些功能的知识将立即影响所有上述领域。这些函数是由我自己、Haglund、Luoto 和 Mason 发现的,我的首要目标是进一步研究这些函数,然后将这些新发现的知识应用于众所周知的开放问题。********例如,进一步的属性我打算研究偏斜拟对称 Schur 函数的几何 Littlewood-Richarsdon 规则的存在性。这将为拟对称 Schur 函数提供代数几何解释,从而推广前面描述的 Schur 函数的解释。********作为一个应用,我将确定一个组合规则,将 Lie 表示表示为拟对称 Schur 函数之和。然后,由于 Schur 函数和拟对称 Schur 函数之间的密切关系,这一结果将产生立竿见影的影响,解决表示论中长期存在的开放问题,以找到将 Lie 表示表示为 Schur 函数之和的组合规则。**** **我打算研究的另一个途径是广义舒尔函数(例如舒伯特多项式和麦克唐纳多项式)是否表现出自然的拟对称改进。这些改进将为解决长期存在的开放性问题提供新的工具,例如寻找舒伯特多项式的乘积规则以及解决被称为“科幻小说”的麦克唐纳多项式猜想。 **
项目成果
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专著数量(0)
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vanWilligenburg, Stephanie其他文献
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