大自由度非線形力学系に対するKoopman作用素論に基づく縮約理論の展開

基于库普曼算子理论的大自由度非线性动力系统简化理论的发展

基本信息

批准号：
22K11919
负责人：
中尾裕也
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

大自由度非線形力学系に対するKoopman作用素論に基づく縮約理論の展開に関して、2022年度は以下のような研究を実施した。(i) 量子散逸系の非線形振動子に対して、Koopman作用素論の観点から漸近位相の定義を試みた。以前の研究で、古典確率系の非線形振動子に対しては、系を記述するFokker-Planck作用素の随伴である後退Kolmogorov作用素が確率的なKoopman作用素であり、その実部が最も虚軸に近い複素数のペアに対応する固有関数を漸近位相と捉えられることを示していた。この考えを拡張して、系が量子的なLindblad型の(超)作用素で記述される場合について、その随伴(超)作用素がKoopman作用素であることを示し、その固有作用素を用いて漸近位相を定義できる可能性があることを示し、数値解析により量子van der Polモデルに関してこの考えが妥当性を持つことを示した。(ii) 非線形振動子の測定データから、漸近位相と振幅を表す関数を推定する手法を提案した。これらの関数は、系のKoopman作用素の固有値と固有関数に対応し、動的モード分解法によってそれらをデータから推定できることは知られているが、実際に低次元の振動子でこれを実行すると、必ずしも推定精度が高くない場合があることが分かった。これを解決するために、固有値と固有関数を同時推定するのではなく、まず固有値に対応する振動数とFloquet指数を別途測定した上で、固有関数に対応する漸近位相と振幅関数を推定する方法を提案した。数値実験により、低次元の非線形振動子のモデルから得たデータから、データ量が十分にあるという条件下で、良好な精度で推定できることを確認した。得られた成果は学会・研究会および論文にて公表した。その他、関連する複数の研究を実施した。

2022年，我们针对大自由度非线性动力系统基于库普曼算子理论的约简理论的发展进行了以下研究。 (i)我们尝试从库普曼算子理论的角度定义量子耗散系统中非线性振荡器的渐近相位。先前的工作表明，对于经典随机系统中的非线性振子，后向柯尔莫哥洛夫算子（描述系统的福克-普朗克算子的伴随）是随机库普曼算子，其实部是最接近虚轴的复数结果表明，该对对应的本征函数可以被视为渐近相。扩展这个想法，当一个系统由量子 Lindblad 型（超）算子描述时，我们证明伴随（超）算子是一个库普曼算子，并且我们使用它的本征算子来找到渐近拓扑。可以定义，数值分析表明这个想法对于量子范德波尔模型是有效的。 (ii)我们提出了一种根据非线性振荡器的测量数据估计渐近相位和幅度函数的方法。众所周知，这些函数对应于系统的库普曼算子的特征值和特征函数，并且可以通过动态模式分解从数据中估计它们，但是当实际在低维振荡器上执行此操作时，已经发现估计精度并不总是很高。为了解决这个问题，我们不是同时估计特征值和特征函数，而是首先分别测量特征值对应的频率和Floquet指数，然后估计所提出的特征函数对应的渐近相位和幅度函数。通过数值实验，我们证实，只要有足够的数据量，就可以根据低维非线性振荡器模型获得的数据进行高精度估计。获得的结果发表在学术会议、研究小组和论文上。此外，还进行了多项相关研究。