量子統計における漸近理論

量子统计中的渐近理论

• 批准号: 22K03466
• 负责人: 山形 浩一
• 金额: $ 2.5万
• 依托单位: National Institute of Informatics
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03466/
• 关键词: 量子統計; 局所漸近正規性; 漸近表現定理; 漸近ミニマックス定理; 量子推定; 漸近正規性; 量子ガウス状態; 量子中心極限定理

最も大きい目標であった漸近表現定理の証明の完成に至る。この定理は量子統計モデルの列が局所漸近正規性を有してかつ漸近D不変性という性質を持つ場合に、任意の量子的統計量の列を量子ガウス状態族の統計量に帰着できることを主張する。この定理は古典統計理論における漸近表現定理の量子統計への拡張となっているが、漸近D不変性を要求する点が古典統計との大きな違いである。漸近D不変性は決して特殊な条件ではなく、量子統計モデルを表現するヒルベルト空間が有限次元でかつI.I.D.モデル列の場合には必ず成り立つ。また非I.I.D.モデル列で漸近D不変性を持つような例も見つかっている。漸近表現定理の証明はフォン・ノイマン代数の位相の性質を積極的に活用することで実現した。量子漸近表現定理を利用することで多くの統計的に重要な定理を導出することができる。実際我々は、量子漸近表現定理を用いて漸近ミニマックス定理や正則推定量の限界を導出することに成功した。これらの定理は漸近的な重み付き平均二乗誤差の下界が極限量子ガウスモデルの重み付き平均二乗誤差の下界である Holevo bound と一致することを主張している。この下界を我々は漸近表現バウンドと呼んだ。漸近表現バウンドはI.I.D.モデル列の場合はモデル列のHolevo bound と一致するが、非I.I.D.モデル列においては新規のバウンドとなっている。この研究成果は査読付きの学術論文に掲載されることが決まっている。またこの研究成果とこれまでの量子統計に関する研究の経緯についての講演を大阪大学にて行った。

最大的目标是完成渐近表示定理的证明。该定理指出，如果量子统计模型序列具有局部渐近正态性和渐近 D 不变性，则任何量子统计序列都可以简化为量子高斯态族的统计量。该定理是经典统计理论中渐近表示定理向量子统计的推广，但与经典统计的主要区别在于它需要渐近D-不变性。渐近 D 不变性绝不是一个特殊条件，并且当表示量子统计模型的希尔伯特空间具有有限维且是 I.I.D 模型序列时始终成立。还发现了具有渐近 D 不变性的非 I.I.D 模型序列的例子。主动利用冯·诺依曼代数的拓扑性质实现了渐近表示定理的证明。使用量子渐近表示定理可以推导出许多统计上重要的定理。事实上，我们利用量子渐近表示定理成功地推导了渐近极小极大定理和全纯估计量的极限。这些定理断言渐近加权均方误差的下界与 Holevo 界一致，即极限量子高斯模型的加权均方误差的下界。我们将此下界称为渐近表达式界。在 I.I.D 模型序列的情况下，渐近表达式边界与模型序列的 Holevo 边界匹配，但在非 I.I.D 模型序列的情况下，它是一个新边界。这项研究的结果将发表在经过同行评审的学术论文中。他还在大阪大学做了关于这项研究成果和迄今为止量子统计研究历史的演讲。

项目成果

局所漸近正規性を有する量子統計モデルに対する推定量の有効性

具有局部渐近正态性的量子统计模型估计量的有效性

• 发表时间: 2023
• 作者: 山形浩一; 藤原彰夫
• 通讯作者: 藤原彰夫