A characterization of a ribbon knot and its presentation by making use of a surface

丝带结的表征及其利用表面的呈现

基本信息

批准号：
22K03310
负责人：
田中利史
金额：
$ 1.33万
依托单位：
Gifu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03310/
关键词：
リボン結び目対称和スライス結び目曲面

项目摘要

本研究の目的はリボン結び目とその表示の特徴づけ及び分類を行うことである。リボン結び目は、1960年代から研究が盛んに行われている結び目コボルディズムの分野において重要な研究対象である、スライス結び目の例である。2022年度の研究においては、合成リボン結び目のリボン円板の幾何学的性質を調べ、そのようなリボン結び目の特徴づけ及び分類を行った。その結果として、未解決問題である「すべてのリボン結び目は対称和であるか」に対して新たな結果を得た。近年、リボンコンコーダンスに関して極小な結び目はどのような結び目であるかという問題が注目されている。例えばトーラス結び目は極小な結び目であることが知られている。本研究の具体的な取り組みとして、リボンコンコーダンスに関して極小な２つの結び目の連結和がリボン結び目となる場合の研究を行った。一般に結び目とその鏡像の連結和はリボン結び目となるが、その逆が成り立つかについて考察した。その結果、その連結和がリボン数１のリボン結び目の場合に、ある結び目とその鏡像の連結和となることを示し、特に対称和となることが分かった。また、２つのトーラス結び目の連結和がリボン結び目となる場合は、一方が他方の鏡像となることをアレキサンダー多項式の性質を用いて示し、特に対称和となることが分かった。その結果、トーラス結び目のコンコーダンスクラスは、トーラス結び目を１つしか持たないことが分かった。一方で、結び目とその連結和のリボン数と橋数に関するBleilerとEudave-Munozの予想に対する反例を与えた。

本研究的目的是对丝带结及其表示进行表征和分类。丝带结是切片结的一个例子，它是结法领域的一个重要研究课题，自 20 世纪 60 年代以来一直被积极研究。在 2022 年的研究中，我们研究了合成带结的带盘的几何特性，并对此类带结进行了表征和分类。结果，我们获得了未解决问题的新结果：“所有带结都是对称和吗？”近年来，人们的注意力集中在丝带索引中最小的结是什么类型的问题上。例如，已知环面结是非常小的结。作为本研究的具体方法，我们对两个最小结的连通和成为带状结的情况进行了关于带状一致性的研究。一般来说，结与其镜像的连通和是带状结，但我们考虑反过来是否成立。结果表明，在丝带编号为1的丝带结的情况下，连通和是某个结与其镜像的连通和，特别是发现它是一个对称和。此外，当两个环面结的连接和形成带状结时，利用亚历山大多项式的性质表明，一个环面结成为另一个环面结的镜像，并且发现该和特别对称。结果发现，环面结的索引类只有一个环面结。另一方面，我们给出了布莱勒和尤达夫-穆尼奥斯关于结中带子和桥的数量及其连接和的猜想的反例。