スケイン理論及び基本群の表現論を用いた量子不変量の研究

使用Skeyne理论和基本群表示理论研究量子不变量

基本信息

批准号：
17740031
负责人：
田中利史
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Osaka City University (2006-2007)The University of Tokyo (2005)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2005
资助国家：
日本
起止时间：
2005 至 2007
项目状态：
已结题

项目摘要

3次元空間の接触構造を用いて定義される絡み目の不変量,極大Thurston-Bennequin数と量子不変量であるKauffman多項式不変量の次数との関係を調べることで,2重化結び目に対するKauffman多項式の次数と極大Thurston-Bennequin数との間の等式を得ることができた。その結果の応用として,2橋結び目及びトーラス結び目の全ての2重化結び目の公式を得た。さらにA.Stoimenowにより与えられたKauffman多項式の次数と結び目のオイラー標数不変量に関する問題に対し,部分解を与えた。一方で,同相な4次元多様体の微分構造の違いを判定する研究を行った。このような研究に関しては,微分構造の違いを判定する際に以前は大変難解な解析的手法を必要としたが,最近の新しい理論であるホバノブ理論を用いることで,その部分を簡略化することに成功した。とくにCassonハンドルについては,その理論を用いて無限個の微分構造の存在を示した.具体的には,Cassonハンドルに対してスライス種数と呼ばれる不変量を定義し,その計算をKirby計算及びホバノブ理論から得られるRasmussen不変量を用いて行った.

通过研究最大 Thurston-Bennequin 数（使用三维空间中的接触结构定义的链接的不变量）与考夫曼多项式不变量的次数（量子不变量）之间的关系，我们可以计算考夫曼我们能够获得的阶数和最大 Thurston-Bennequin 数之间的方程。作为结果的应用，得到了双桥结和环面结的所有双结的计算公式。此外，我们还对A.Stoimenow给出的关于考夫曼多项式的次数和结的欧拉特征不变量问题给出了部分解。另一方面，我们进行了研究以确定同胚四维流形的微分结构的差异。对于此类研究，确定微分结构的差异过去需要极其困难的分析方法，但通过使用最近的新理论——Hobanob理论，这部分可以得到简化。特别是，对于Casson柄，我们用该理论证明了无限多个微分结构的存在。具体来说，我们为Casson柄定义了一个称为切片亏格的不变量，并使用Kirby计算和Hovernob进行了计算。这是使用从理论获得的拉斯穆森不变量来完成的。