関数不等式に関連する変分問題及び楕円型方程式の研究

与泛函不等式相关的变分问题和椭圆方程研究

基本信息

批准号：
18J01019
负责人：
橋詰雅斗
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Hiroshima University (2020)Ehime University (2018-2019)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は劣臨界Trudinger-Moser型汎関数の正値臨界点に関する漸近挙動の研究を行った。Neumann型の問題を考察し、領域のスケールに関するパラメータをゼロ及び無限大に近づけた際の臨界点の挙動についての研究を行った。劣臨界Trudinger-Moser型汎関数の正値臨界点はある非局所楕円型方程式の正値解になっており、正値臨界点の漸近挙動の解析はこの方程式の正値解の漸近挙動の解析となる。冪型の非線形項を持つ楕円型方程式におけるこのような研究は数多く行われてきたが、指数型非線形項においては現在まで行われていなかった。この研究において、まずパラメータをゼロに近づけた場合、全ての臨界点がある定数に漸近していくことが得られた。ただし、この結果は冪型非線形項の場合と比較すると少し弱い結果となっている。次に、領域を無限大にした場合の漸近挙動に関しては、全空間Trudinger-Moser不等式の変分問題と関係があるという結果を得た。全空間の変分問題における結果で、Trudinger-Moser型汎関数の指数の大きさが達成可能性に影響する、とうものがあり、今回考察した問題でも同様に指数によって漸近挙動が変わるという結果を得た。具体的には、指数が大きい場合、正値臨界点は全空間変分問題の最大化関数に漸近し、指数が小さい場合はゼロに漸近していくというものである。全空間問題と関連して、このように冪型非線形項では起こらない結果を得ることができた。今年度は研究集会において3件の講演をし、研究成果の発表を行った。

今年，我们研究了亚临界 Trudinger-Moser 型泛函的正临界点的渐近行为。我们考虑了诺伊曼型问题，并研究了当与区域尺度相关的参数接近零和无穷大时临界点的行为。亚临界Trudinger-Moser型泛函的正临界点是某个非局部椭圆方程的正解，正临界点的渐近行为分析就是该方程正解的渐近行为分析。变成。此类研究已针对具有幂型非线性项的椭圆方程进行了许多研究，但迄今为止尚未对指数非线性项进行研究。在这项研究中，我们首先发现当参数接近于零时，所有临界点都渐近地接近某个常数。但这个结果比幂型非线性项的结果稍弱。接下来，我们得到了当域无穷大时的渐近行为与全空间 Trudinger-Moser 不等式的变分问题有关的结果。在总空间变分问题中，Trudinger-Moser 型泛函的指数大小会影响可实现性，在本次考虑的问题中，渐近行为同样会根据指数而变化。具体来说，当指数较大时，正值临界点渐近逼近总空间变分问题的最大化函数，而当指数较小时，则渐近逼近零。关于总空间问题，我们能够获得幂律非线性项不会出现的结果。今年，我做了三场讲座，并在研究会议上展示了我的研究成果。