様々な効果を持つ非線形楕円型方程式の解構造の研究

具有各种效应的非线性椭圆方程的解结构研究

基本信息

批准号：
19K03590
负责人：
生駒典久
金额：
$ 2.41万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は以下の研究テーマについて研究を行い，成果を得た．(A) L^2 ノルム正規化解の存在問題: 本テーマでは，L^2 劣臨界ケース，L^2 臨界ケース，L^2 優臨界ケースという3つの場合を取り扱った．劣臨界ケースでは昨年度までに得られていた成果を拡張し，より広い非線形反応項およびポテンシャル項を取り扱うことに成功し，正値解の存在，解の多重存在性を証明することが出来た．また，臨界ケースと優臨界ケースではポテンシャル項がない状況を考え，球対称解の存在問題を扱い，正値球対称解の存在を示すことができた．(B) 非線形反応項を伴う Born-Infeld 方程式: 本テーマでは，まず Sobolev 臨界反応項を伴う方程式を考察し，この方程式に対して非自明解が存在しないことを示すことができた．次に Sobolev 臨界反応項以外の非線形反応項を考察し，非自明解の存在問題を取り扱った．今年度の研究では，先行研究で扱われていた非線形反応項よりも一般の反応項に対し非自明解の存在と解の多重存在性を示すことに成功した．(C) パラメータに単調依存する汎関数に対する Palais-Smale 列の挙動: 本テーマではパラメータに単調依存する汎関数の族の峠の値に対し，有界な Palais-Smale 列が存在するかどうかを考察した．本年度は，峠の値に対して有界な Palais-Smale 列が全く存在しないようなパラメーターの値が可算無限個かつ有界な範囲内に留まる例を構成することに成功した．

今年，我们围绕以下研究主题进行了研究并取得了成果。 (A) L^2范数归一化解的存在性问题：在本主题中，我们处理了三种情况：L^2亚临界情况、L^2临界情况和L^2超临界情况。在亚临界情况下，我们将去年获得的结果进行了扩展，成功地处理了更广泛的非线性反应项和势项，并能够证明正确解的存在性和多重解的存在性。此外，考虑到临界和超临界情况下不存在势项的情况，我们处理了球对称解的存在性问题，并能够证明正值球对称解的存在性。 (B) 具有非线性反应项的 Born-Infeld 方程：在本主题中，我们首先考虑具有 Sobolev 临界反应项的方程，并且能够证明该方程不存在非平凡解。接下来，我们考虑了 Sobolev 临界反应项以外的非线性反应项，并处理了非平凡解的存在问题。在今年的研究中，我们成功地证明了非平凡解的存在性以及一般反应项的多重解的存在性，而不是以前研究中处理的非线性反应项。 (C) 单调依赖于参数的泛函的 Palais-Smale 序列的行为：在这个主题中，我们研究了我认为单调依赖于参数的泛函族的传递值是否存在有界 Palais-Smale 序列。它。今年，我们成功构造了一个例子，其中有可数无限个参数值保持在有界范围内，使得传递值不存在有界 Palais-Smale 序列。