ゲージ理論の４次元トポロジーへの応用

规范理论在四维拓扑中的应用

基本信息

批准号：
16J05569
负责人：
今野北斗
金额：
$ 1.22万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-22 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は，以下の内容に関する3本のプレプリントを執筆し公表した：（１）周期的な端を持つ4次元多様体上の10/8型不等式と正スカラー曲率計量の存在問題，（２）族に対するSeiberg-Witten不変量の貼り合わせ公式とその応用，（３）族に対するBauer-Furuta不変量とSeiberg-Witten不変量の間の関係および有限次元近似から得られる族への制約．以下それぞれについて述べる．（１）10/8不等式は4次元トポロジーの中心的な興味の対象である．一方，与えられた多様体が正スカラー曲率計量を許容するかは，Riemann幾何学における古典的問題である．本研究課題では両者を関係づけ，応用として，既存の方法が適用不能な4次元多様体に対して正スカラー曲率計量の非存在を証明した．（２）族に対するSeiberg-Witten不変量に対し，ファイバーごとの連結和に関する貼り合わせ公式を証明した．その応用として，例えば，群作用不変な正スカラー曲率計量の存在の障害を与え，いくつかの場合にその障害を計算して非自明なことを示した．（３）族に対するBauer-Furuta不変量とSeiberg-Witten不変量の間の関係を，族のSeiberg-Witten不変量の整除性定理として与えた．また，Seiberg-Witten方程式の族の有限次元近似にSteenrod平方作用素を作用させることで，4次元多様体の滑らかな族に対する制約を見いだした．Steenrod平方作用素がゲージ理論の研究において有効に用いられたのはこれが初めてであると思われる．この応用として，K3曲面の微分同相群による同相群のホモトピー商は非自明な基本群を持つことが示された．

今年，我撰写并发表了三篇预印本，主题如下：(1) 具有周期边的 4 维流形上 10/8 型不等式和正标量曲率度量的存在问题，(2) (3) Bauer-族的 Furuta 不变量和 Seiberg-Witten 不变量，以及通过有限维近似获得的族约束。下面将逐一解释。 (1) 10/8 不等式是四维拓扑的核心兴趣。另一方面，给定流形是否允许正标量曲率度量是黎曼几何中的经典问题。在这个研究项目中，我们将两者联系起来，并作为一个应用，证明了现有方法不适用于的四维流形的正标量曲率度量不存在。对于 (2) 族的 Seiberg-Witten 不变量，我们证明了每根光纤的连接和的粘贴公式。例如，作为其应用，我们给出了群作用不变正标量曲率度量存在性的障碍，计算了某些情况下的障碍，并表明它是不平凡的。 (3) 族的 Bauer-Furuta 不变量与 Seiberg-Witten 不变量之间的关系作为族的 Seiberg-Witten 不变量的整除性定理给出。此外，通过将 Steenrod 平方算子应用于 Seiberg-Witten 方程族的有限维近似，我们发现了 4 维流形的光滑族的约束。这似乎是 Steenrod 平方算子首次在规范理论的研究中得到有效使用。作为其应用，可知K3面的微分同胚群的同胚群的同伦商具有非平凡的基本群。