ゲージ理論からの無限次元力学系とホモトピー論による低次元多様体の不変量

来自规范理论的无限维动力系统的不变量和来自同伦理论的低维流形

基本信息

批准号：
19K03493
负责人：
笹平裕史
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究ではSeiberg-Witten Floer 安定ホモトピー型という３次元多様体の不変量を研究した。この不変量は第一 Betti数が0の場合にManolescuによって定義された。Seiberg-Witten方程式が定義する力学系に対して, Conleyの指数理論を適用することで定義される。Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型はCW複体の安定ホモトピー型として定義され、そのホモロジーをとると， Seiberg-Witten Floerホモロジーが再現される。Bauer-Furuta不変量と呼ばれる４次元多様体の不変量の計算、境界付き４次元多様体のトポロジー、ホモロジー３球面のホモロジー同境群などへの興味深い応用が知られている。第一Betti数が正の場合に、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型を定義するれば、より多くの応用を得られることが期待できる。しかし、第一Betti数が正の場合に定義するには、本質的な困難があった。Kronheimer-Manolsescuによる先駆的な研究があったが、厳密に定義するには至っていなかった。本研究では、第一Betti数が正の場合にSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の定義を確立することを研究し、２つのバージョンを定義することに成功した。さらに、境界付き４次元多様体のトポロジーに関するいくつかの応用を得ることができた。本研究はミシガン州立大学のStoffregenとの共同研究として行なった。

在这项研究中，我们研究了称为 Seiberg-Witten Floer 稳定同伦类型的三维流形的不变量。当第一个 Betti 数为 0 时，Manolescu 定义了这个不变量。它是通过将康利指数理论应用于 Seiberg-Witten 方程定义的动力系统来定义的。 Seiberg-Witten Floer 稳定同伦形式被定义为 CW 复合体的稳定同伦形式，其同源性再现了 Seiberg-Witten Floer 同源性。有趣的应用是已知的，例如称为 Bauer-Furuta 不变量的 4 维流形不变量的计算、有界 4 维流形的拓扑以及同调 3 球体的同调收敛群。如果我们在第一个 Betti 数为正时定义 Seiberg-Witten Floer 稳定同伦类型，我们可以期待更多的应用。然而，当第一个贝蒂数为正数时，定义它存在固有的困难。尽管 Kronheimer-Manolsescu 进行了开创性的研究，但尚未得出准确的定义。在本研究中，我们研究了当第一个 Betti 数为正时 Seiberg-Witten Floer 稳定同伦类型的定义，并成功定义了两个版本。此外，我们还获得了有关有界四维流形拓扑的一些应用。这项研究是与密歇根州立大学的 Stoffregen 合作进行的。