ＡＤＥ型メッシュ多元環の導来同値・安定同値分類

ADE型网格代数的导出等价/稳定等价分类

基本信息

批准号：
16J02249
负责人：
淺井聡太
金额：
$ 1.79万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-22 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は体上の有限次元多元環に対し、射影加群圏と加群圏のGrothendieck群ならびに、これらに関する双線形形式であるEuler形式を用いて、研究を行った。射影加群圏と加群圏のGrothendieck群の標準的な基底は、直既約射影加群と単純加群でそれぞれ与えられ、さらにEuler形式に関して双対的であることが知られている。特に射影加群圏の実Grothendieck群はEuclid空間と自然に同一視される。射影加群圏の実Grothendieck群の各元に対し、Euler形式の符号に着目することで、Kingは加群が（半）安定であるという概念を導入した。そこで各加群を半安定とするような元全体の部分集合をEuclid空間内の壁とみなすことで、実Grothendieck群の部屋構造が考えられる。一方実Grothendieck群の各元は、加群圏上に二種類の数値的ねじれ対を定める。私は今年度、部屋構造を数値的ねじれ対を用いて調べるため、上記二種類の数値的ねじれ対がともに一致するという条件で、射影加群圏の実Grothendieck群にTF同値という同値条件を新たに導入した。その結果TF同値と部屋構造は、互いに他方を復元できるということを、私は証明することができた。またKoenig-Yang対応の観点からも部屋構造を調べ、特に内点を持つTF同値類は2項準傾複体と一対一に対応することを示した。また非輪状な箙に付随する道多元環について、部屋構造の壁たちを漸化式を用いて帰納的に記述した。一般論の整備に予想以上に時間がかかり、上記の結果を今年度中にメッシュ多元環の研究へ用いるには至らなかったが、私が今年度得た道多元環の実Grothendieck群の部屋構造に関する結果は、Coxeter群を経由してメッシュ多元環の場合にも応用できると考えられる。今後の研究の中でそれを明らかにしていきたい。

今年，我们使用射影模范畴、模范畴的格洛腾迪克群以及欧拉形式（与这些相关的双线性形式）对域上的有限维代数进行了研究。射影模范畴和模范畴的格洛腾迪克群的标准基分别由不可约射影模和简模给出，并且也已知相对于欧拉形式是对偶的。特别是，射影模范畴的实格洛腾迪克群自然地等同于欧几里得空间。通过关注射影模范畴中实格罗腾迪克群的每个元素的欧拉型符号，King 引入了模（半）稳定的概念。因此，真实格洛腾迪克群的房间结构可以通过考虑整个单元的子集来考虑，该子集使得每个模块在欧几里得空间中像墙一样半稳定。另一方面，实格罗腾迪克群的每个元素在模块类别上定义了两种数字双绞线。今年，为了利用数值双绞线来研究房间结构，我将为射影模范畴中的实格罗滕迪克群创建一个新的等价条件，称为 TF 等价，条件是上述两种数值双绞线是相同。结果，我证明了 TF 等价性和房间结构可以相互恢复。我们还从 Koenig-Yang 对应的角度研究了房间结构，并表明，特别是具有内点的 TF 等价类与二项式准倾斜复形具有一一对应的关系。另外，关于与非环形箭袋相关的路径多元环，我使用递推公式归纳描述了房间结构的墙壁。准备一般理论的时间比预期要长，而且我没能在本财年内将上述成果用于网格代数的研究，但我今年获得的路径代数真实格罗腾迪克群的房间结构是认为有关结果可以通过 Coxeter 组应用于网格代数。我想在未来的研究中澄清这一点。