ストリングトポロジーとゴールドマン・トゥラエフ・リー双代数の研究

弦拓扑和 Goldman-Tulayev-Lie 双代数的研究

基本信息

批准号：
15J08790
负责人：
内藤貴仁
金额：
$ 2.58万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

Chas, Sullivanにより創始されたストリングトポロジーの理論により，向き付けられた閉多様体の自由ループ空間のホモロジー（以後ループホモロジーと呼ぶ）上には様々な代数構造が発見された。本研究の目的は、ストリングトポロジーの立場からループホモロジーの構造の複雑さを解明する事である。本年度は、まずループ積の新たな具体的計算例を与える為に、３次特殊ユニタリ群を極大トーラスで割った、最も基本的な完全旗多様体について考えた。これに関する先行研究としては、Burfitt氏による結果がある。彼はpath-loopファイブレーションに付随するLerray -Serreスペクトル系列を用いて、自由ループ空間の整係数ホモロジー環の構造を決定している。一方、私は有理ホモトピー論、特にFelix-Thomas-VigueによるSullivanモデルを用いたループ積の有理モデルを用いて、有理係数ループホモロジー群の完全決定、及びループ積の部分的な計算結果を得る事に成功した。Burfitt氏の結果と比べると有理係数となり得られる情報は落ちるが、有理ホモトピー論の恩恵によりループ積の構造を部分的に決定できた。次にループホモロジーの複雑性を解明する１つの試みとして、ループ空間に対するChenの反復積分の理論を用いた研究アプローチを行った。Chenの反復積分の理論のアイデアにより、ループ空間のホモロジー群から、完備テンソル代数に適切な微分を定めたチェイン複体のホモロジーへの準同型を構成する事ができる。本研究では、ループホモロジー群のホモロジー類をこの準同型で写した時に、完備テンソル代数のどのような元を与えるかを調べた。その結果、まずこの準同型とHurewicz準同型との関係を明らかにした。つこれにより、あるループホモロジー類を上述の準同型でテンソル表示すると、その長さ１の部分を明らかにした。

利用Chas和Sullivan发展的弦拓扑理论，在有向闭流形自由环空间的同调性（以下简称环同调性）上发现了各种代数结构。本研究的目的是从弦拓扑的角度阐明环同源结构的复杂性。今年，我们首先考虑了最基本的完全旗形流形，即三次特殊酉群除以最大环面，以提供新的环积的具体计算示例。 Burfitt 先生之前对此主题的研究结果包括在内。他使用与路径环原纤维相关的 Lerray-Serre 谱系列来确定自由环空间中积分系数同调环的结构。另一方面，利用有理同伦理论，尤其是采用Felix-Thomas-Vigue的Sullivan模型的有理环积模型，完全确定了有理系数环同伦群，并成功获得了环积的部分计算结果。与 Burfitt 的结果相比，从有理系数获得的信息较低，但由于有理同伦理论，我们能够部分确定环积的结构。接下来，为了阐明循环同调的复杂性，我们利用陈的循环空间重复积分理论进行了研究。借助陈氏迭代积分理论的思想，我们可以在完全张量代数中通过适当的微分来构造从环空间的同调群到链复形的同态。在本研究中，我们研究了当环同调群的同调类由该同态映射时，给出完整张量代数的哪些元素。因此，我们首先阐明了这种同态与Hurewicz同态之间的关系。结果，当使用上述同态将某个环同源类表达为张量时，长度为1的部分被阐明。