離散最大正則性とその有限要素法・有限体積法への応用

离散最大正则及其在有限元法和有限体积法中的应用

基本信息

批准号：
15J07471
负责人：
剱持智哉
金额：
$ 1.6万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

放物型方程式に対する最大正則性と呼ばれる性質の離散化とその応用について研究している．最大正則性とは，古くから放物型方程式の解析に用いられている解析半群という枠組みと比べて強い性質であり，非線形方程式の解析において広く用いられている．本年度は，解析半群に関連する話題に着手し，いくつか成果を得ることができた.まず取り扱ったのは，線形放物型方程式において解が有界となる場合に．有限要素法により誤差が時間発展に伴ってどの程度拡大するのか，という点について考察した．その結果，解析半群の枠組みで解析することで，誤差は拡大せず，有界な範囲に留まる，ということがわかった．次に取り組んだのは，Allen-Cahn方程式と呼ばれる，ある種の界面の運動を記述する偏微分方程式に関する数値解析である．この問題は，界面の幅に対応するパラメータを持ち，そのパラメータに対して数値計算におけるメッシュのサイズを十分に小さく取らなければ，数値計算がうまくいかない，ということが経験的に知られていた．しかしながら，あまりに細かなメッシュでは，現実的な時間内での計算ができない可能性がある．そこで「どの程度までメッシュを粗くしてよいのか」という問題に取り組み，「これ以上メッシュを粗くした場合には計算がうまくいかない」という，ある種の必要条件を理論的に導いた．この成果も上述の成果と同様に，解析半群の枠組みによるものである．最後に，不連続Galerkin法による時間離散化手法 (以下，DG法) について研究した．この手法は差分法のある種の一般化であることが知られており，移動境界問題の数値計算などに広く用いられている．本年度はDG法に現れるある有理関数に対する詳細な評価を計算した．その結果，誤差評価に関して，これまで知られていた評価よりも精密な誤差評価が得られるということがわかった．

我正在研究抛物方程最大正则性性质的离散化及其应用。最大正则性是比长期以来用于分析抛物型方程的解析半群框架更强的性质，广泛应用于非线性方程的分析。今年，我开始研究解析半群相关的课题，并取得了一些成果。首先，我处理了线性抛物型方程的解有界的情况。使用有限元方法，我们考虑了误差随时间增加的程度。结果，我们发现通过使用解析半群框架进行分析，误差并没有增加并且保持在有界范围内。我研究的下一个主题是对称为艾伦-卡恩方程的偏微分方程进行数值分析，该方程描述了某种类型界面的运动。这个问题有一个与界面宽度相对应的参数，根据经验知道，除非数值计算中的网格尺寸对于该参数来说足够小，否则数值计算将不会顺利进行。但是，如果网格太细，则可能无法在实际时间内进行计算。因此，我们解决了“网格可以粗化到什么程度？”的问题，并从理论上推导出了一定的必要条件：“如果网格粗化到什么程度，计算就不会顺利进行。”与上述结果一样，这个结果也是基于解析半群框架的。最后，我们研究了一种采用间断伽辽金法（以下简称DG法）的时间离散化方法。该方法被认为是有限差分法的一种推广，广泛应用于移动边界问题的数值计算。今年，我们对DG方法中出现的某个有理函数进行了详细的评估。结果，我们发现该方法提供了比以前已知的评估更精确的误差评估。