特異・退化な重みをもつ放物型偏微分方程式の漸近挙動解析と定性的解析

具有奇异和简并权重的抛物型偏微分方程的渐近行为分析和定性分析

基本信息

批准号：
20J10379
负责人：
立石優二郎
金额：
$ 1.09万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では特異性あるいは退化性のある重み関数を係数にもつ放物型偏微分方程式に対して，解の時刻無限大での漸近挙動を考察した．またそれに伴い，解の正則性等の定性的解析やHarnack不等式や熱核評価等の定量的解析を導出することを目的とした．加えて，重み付き熱方程式はポテンシャル項を持つ熱方程式の変換によっても得られるため，シュレーディンガー熱半群に対する解析も考察している．本年度の研究実施計画では，一般の重み関数に対して放物型偏微分方程式の漸近挙動解析を行うこと及び前年度からの計画修正として重み付きソボレフ空間のコンパクト埋め込みに関する先行研究の整理と拡張検討を予定していた．結果，本研究で扱う予定であった重み関数のクラスでの重み付きソボレフ空間のコンパクト埋め込みの結果は十分に得られておらず，現時点では多項式冪の重み関数の場合のみ漸近挙動を導出できている．一方でポテンシャル項を持つ熱方程式の解評価は結果を得られた．具体的には，逆二次ポテンシャルを持つシュレーディンガー熱半群に対して導関数のローレンツ空間での最適減衰評価を導出し，対応するシュレーディンガー作用素の調和関数の挙動を用いて特徴付けを行った．これは先行研究の拡張であるとともに，シュレーディンガー熱半群及びその導関数の挙動がシュレーディンガー作用素の正値調和関数のみならず他の調和関数の挙動によって決定される様子を表した結果となっている．

在本研究中，我们考虑了系数为奇异或简并权函数的抛物型偏微分方程在无限时间内解的渐近行为。除此之外，我们的目标是导出解的规律性等定性分析，以及哈纳克不等式和热核评估等定量分析。此外，由于还可以通过将热方程与势项进行变换来获得加权热方程，因此还考虑了薛定谔热半群的分析。在今年的研究实施计划中，我们将对一般权重函数的抛物型偏微分方程进行渐近行为分析，作为对上一年计划的修订，我们将整理和拓展前期关于加权Sobolev空间紧嵌入的研究。我正打算这么做。因此，对于我们计划在本研究中处理的加权函数类，我们尚未获得足够的加权 Sobolev 空间的紧凑嵌入结果，目前我们只能导出多项式加权函数的渐近行为有。另一方面，获得了评估具有势项的热方程的解的结果。具体来说，我们推导了具有逆二次势的薛定谔热半群导数在洛伦兹空间中的最佳阻尼评估，并使用相应薛定谔算子 Ta 的调和函数的行为来表征它。这是先前研究的延伸，结果表明薛定谔热半群及其导数的行为不仅由薛定谔算子的正调和函数决定，而且还由其他调和函数的行为决定。