志村多様体論的手法によるGalois表現の変形理論の研究

利用志村流形理论方法研究伽罗瓦表示变换理论

基本信息

批准号：
22KJ0041
负责人：
沖泰裕
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ0041/
关键词：
整数論玉河数志村多様体

项目摘要

今年度は, 本研究と関連が深い志村多様体の数論幾何およびに関連する代数群の整数論について研究を行った. 以下, その詳細について説明する.Pei-Xin Liang氏(国立精華大学), Hsin-Yi Yang氏(パリ・サクレー大学), Chia-Fu Yu氏(中央研究院)と共同で, CM代数に付随するトーラスの玉河数について研究を行った. このトーラスは, A型PEL型志村データに現れる群であるCMユニタリ群と密接に関係していることが知られている. その結果, すべての2の整数べきが上述のトーラスの玉河数として実現されることを証明した. さらに, この定理の証明を行う過程で, CM代数に付随するトーラスのTate-Shafarevich群がGalois群の指標群の言葉で記述できることも得られた. これらの結果は論文として公表済みであり, 現在投稿中である. さらに, 上記の玉河数の結果をD型のPEL志村データに現れる群に対して一般化することにも成功した. 証明の鍵は, Colliot-Theleneによって構築された連結簡約代数群の脆弱分解の理論を利用して, 考察すべき群の数論的性質を前述のCM代数に付随するトーラスまたはその変種に対する同様の問題に帰着することである. この結果については, 現在論文を執筆中である.一方で, CMユニタリ群に対する志村多様体において, 素数pでの特殊ファイバー内の点のpと互いに素なHecke作用による軌道についても研究を行った. そして, ある\mu-通常点の軌道が稠密とはなり得ないような志村多様体の例を構成した. この結果に関して特筆すべき点は, pでの特殊ファイバーが滑らかな場合で同様の現象は起こりえないことである.

今年，我们对与这项研究密切相关的Shimura流形的数量理论几何形状以及与代数组相关的代数组密切相关的数量理论。在下文中，我们将解释细节。我们对与CM代数相关的Yurus数量进行了研究，该研究与Pei-Xin Liang（国家Seika大学），Hsin-yi Yang（Saclay University，Paris）和Chia-Fu Yu（中央研究所）合作。已知这种圆环与CM Unitar组密切相关，CM统一组出现在A型PEL Shimura数据中。结果，我们证明了所有两个整数可以在上述圆环中实现为yurus。此外，在证明该定理的过程中，还可以描述Galois索引组中的Tate-Shafarevich群体。这些结果已作为论文发表，目前正在提交。此外，我们已经成功地将Tamagawa数字的上述结果推广到了出现在D型Pel Shimura数据中的组。证据的关键是使用由科利奥特·泰琳（Colliot-Thelene）构建的串联代数组的弱分解理论来减少这些组的数量理论特性，被认为是与CM代数相关的圆环或变体的类似问题。此结果目前正在审核中。另一方面，由于质量数p中点p的hecke效应，我们还研究了CM统一组的Shimura歧管轨道。我们还构建了一个shimura歧管的示例，其中某个\ mu正常点的轨道不能致密。对此结果特别值得注意的点是，当P平滑的特殊纤维平滑时，这是不可能的。