多元環の表現と団傾部分圏の研究

多维环的表示和群体倾向子类的研究

基本信息

批准号：
11J05593
负责人：
水野有哉
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2013
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は主にτ傾加群の研究を行った。τ傾加群とは近年導入された古典的重要概念である傾加群の一般化である。研究成果のひとつは自己入射多元環上のτ傾加群に関するものである。自己入射多元環の導来圏同値を与える事は基本的問題であるが、それには傾複体を与える事が必要となる。しかし一般に傾複体を構成する方法はあまり知られていない。そこでτ傾加群を用いて傾複体を与える方法を考察した。より具体的には特別なτ傾加群と2項傾複体との間に一対一対応がある事を示した。これによって傾複体より単純なτ加群を用いて構成する方法を与えた。また箙から定まる三つの基本的な概念であるコクセター群、道多元環および前射影多元環の関係を調べた。これらはどれも古くから調べられ、他の多くの分野とも関係性をもつ極めて重要な対象である。研究成果として、Dynkin型箙の場合にコクセター群の元と前射影多元環上の台τ傾加群の間に一対一対応がある事を示した。これによりコクセター群の圏論的実現を与え、前射影多元環上の台τ傾加群の完全な分類に成功した。またこの結果の系として捻れ類の分類やchamber構造の実現などの応用を与えた。さらに前射影多元環上の台τ傾加群の道多元環への制限が剰余閉部分圏を与える事が知られており、コクセター群の元、道多元環上の剰余閉部分圏、前射影多元環上の台τ傾加群間の関係性を明快に理解するに至った。これによって当初の研究目的の一つであった多元環の表現論とルート系との結びつきがより明らかになった。

今年我们主要研究了τ梯度群。 τ梯度模块是梯度群的推广，是近年来引入的经典重要概念。我的研究成果之一涉及自注入代数的 τ 梯度模块。给出自注入代数的派生范畴等价性是一个基本问题，但它需要给出倾斜复数。然而，构建倾斜复合体的方法通常并不为人所知。因此，我们考虑了一种使用 τ 倾斜模块给出倾斜复数的方法。更具体地说，我们证明了特殊的 τ 梯度群和二项式梯度复形之间存在一一对应的关系。这给出了一种使用更简单的 τ 模块构建复形的方法。我们还研究了由箭袋确定的三个基本概念之间的关系：考克塞特群、路径代数和预投影代数。所有这些都已经被研究了很长时间，并且都是与许多其他领域有联系的极其重要的课题。我的研究结果表明，在 Dynkin 型箭袋的情况下，Coxeter 群的元素与前投影代数上的平台 τ 梯度群的元素之间存在一一对应关系。由此，我们给出了Coxeter群的范畴论实现，并成功地在预投影代数上对平台τ梯度群进行了完全分类。此外，我们将该系统应用于扭转的分类和室结构的实现。此外，已知平台τ-梯度代数对预投影代数对路径代数的限制给出了余数闭子范畴，以及Coxeter群的元素、路径代数上的余数闭子范畴以及预投影We已经清楚地理解多维代数上平台 τ 梯度群之间的关系。由此，作为最初研究目标之一的代数表示论与根系之间的联系变得更加清晰。