高维表示理论中的代数的周期性问题研究

Recently, Iyama and his coauthors have introduced high-dimensional representation theory, which is widely used in representational theory and non-commutative geometry. The periodic problem in high-dimensional representation theory is parallel to the periodicity of preprojective algebras of hereditary algebras. This project will study the periodicity of algebras in high-dimensional representation theory from the perspective of d-translation algebras, starting from the truncated algebras of skew-group algebras, taking higher preprojective algebras and selfinjective d-representation finite algebras as research objects. We will discuss the relationship between truncated algebras of skew-group algebras and d-representation finite algebras, establish the connection between truncated algebras and higher preprojective algebras through trivial extension and Koszul duality, and then study the almost Koszulity and periodicity of them. Basis on these, we will study the periodicity of selfinjective d-representation finite algebras. The realization of this project will generalize the periodicity of preprojective algebras of Dynkin type hereditary algebras and representation finite self-injective algebras to high-dimensional representation theory, and give some new examples and methods for characterizing of periodic algebras and almost Koszul algebras.

近来, Iyama及其合作者们引入了高维表示理论, 被广泛的应用于表示理论和非交换几何中。 高维表示理论中的周期性问题是与遗传代数的预投射代数的周期性平行的问题. 本项目将在d-平移代数的背景下, 从斜群代数的截断代数出发, 以高维预投射代数和自入射d-表示有限代数为研究对象, 研究高维表示理论中的代数的周期性. 我们将讨论斜群代数的截断代数与d-表示有限代数之间的联系, 通过平凡扩张和Koszul对偶建立截断代数与高维预投射代数之间的联系, 继而讨论它们的几乎Koszul性和周期性, 并在此基础上研究自入射d-表示有限代数的周期性. 本项目的实现将推广Dynkin型遗传代数的预投射代数、表示有限自入射代数的周期性到高维表示理论情形, 并将得到一些新的刻画周期代数、几乎Koszul代数的方法.

高维表示理论是表示理论的重要组成部分, 受到了众多数学家的关注, 我们利用二次对偶、高维预投射代数、扭平凡扩张等工具, 利用截断、覆盖、回头箭等方法, 得到了系列结果:.1.我们引入了稳定n-平移箭图Z|_{n-1}Q. 找到了将Hom-有限范畴实现为稳定n-平移箭图的凸全子箭图的界定路范畴的条件, 我们还发现n-切片代数实际上是n-遗传代数；反之, n-遗传代数是n-切片代数当且仅当它的（n+1)-预投射代数是(q,n+1)-Koszul的..2.我们介绍了多层箭图, 给出了无限型n-切片代数到无限型(n+1)-切片代数的一种构造方法. 并三角矩阵代数和张量代数描述了(n+1)-切片代数..3.我们介绍了满足某些特定条件的代数, 这一类代数包含了n-表示有限代数和n-完全代数. 我们通过张量积和映射锥给出了某些子范畴中(m+n)-几乎可裂序列的构造方法. 此外, 我们证明了满足这类条件的代数的张量积也满足该条件, 这种构造统一并扩展了Pasquali的相关工作..4.我们研究和构造了n-阿贝尔范畴的(m,n)-丛倾斜子范畴, 并证明了在具有足够多投射(内射)对象(m,n)-丛倾斜子范畴是mn-丛倾斜子范畴. 我们证明了具有拟足够多内射对象的n-阿贝尔范畴是阿贝尔范畴的n-丛倾斜子范畴, 并利用n-阿贝尔范畴刻画了n-Auslander代数, 推广了Iyama和Beligiannis的高维Auslander对应..5.我们给出了分次模为d-线性模的充分必要条件, 并给出了一个有限维分次代数成为几乎Koszul代数的方法..6.我们给出了n-Nakayama代数的Koszul对偶代数的箭图为(n-1)-平移箭图的必要条件. 我们发现, n-Nakayama代数的Koszul对偶的扭平凡扩张代数是稳定n-平移代数, 但不一定为几乎Koszul代数.

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