非局所非線形楕円型方程式に対する特異摂動解析

非局部非线性椭圆方程的奇异摄动分析

基本信息

批准号：
22K03380
负责人：
田中和永
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

特異摂動問題に対応する変形理論の整備を行った．特異摂動問題は非線形シュレディンガー方程式に代表される局所問題に対してポテンシャル V(ｘ) の極小点に凝集する解を中心に研究が行われてきた．Lyapunov-Schmidt 法が適用可能な非退化な特別な場合を除けば，ポテンシャルの極大点，鞍点に凝集する解の変分的研究は少なく，その手法も大変複雑であった (Byeon 氏と私の共同研究 Eur. Math. J 2013 等)．特に Berestycki-Lions に代表される一般的な条件下でも適用可能な deformation flow は標準的な deformation， R^N でのシフト，無限遠での最小化という３つの性格の異なる flow の iteration というものであった．ここではこの変形理論の見直しから始め，証明を大幅に簡略化し，iteration を経ずに deformation を構成した．ここでは空間でのシフトが標準的な変形理論には含まれない点に注意し，関数空間 H^1 と R^N の直積空間に拡張された汎関数に変形理論を展開している．先に Cingolani 氏と共に開発した tail minimizing のアイデアも取り入れている．さらに特筆すべき性質として，今回開発した deformation flow は deformation の課程で関数の形状(ピーク)をある程度保つという性質をもち，特異摂動解の存在証明に適するものである．局所問題のみならずここでの方法は非線形 Choquard 方程式等の非局所問題に対しても有効であり，この方法を用いることによりポテンシャル V(ｘ) の極大点，Moutain pass により特徴付けられた鞍点に凝集する特異摂動解の存在を Cingolani 氏と共に示した．

我们已经开发了一种转化理论来解决奇异的扰动问题。已经研究了奇异的扰动问题，主要是基于在局部问题（例如非线性schrödinger方程）以最小值V（x）汇总的解决方案上进行的。除了可以应用lyapunov-schmidt方法的特殊非分类案例外，几乎没有关于溶液的变化研究，这些溶液在潜在和鞍点的最大点上汇总了溶液，该方法非常复杂（Byeon和我的协作研究，Eur。Math。Math。J2013等）。特别是，可以在一般条件下（例如Berestycki Lions）应用的变形流是标准变形，在R^n时移动，而在Infinity处最小化，这是三种不同特征的流动迭代。在这里，我们首先回顾了这种转变理论，并大大简化了证据，并在不经过迭代的情况下构建了变形。在这里，我们注意到，空间的变化不包括在标准变换理论中，我们将转换理论开发为扩展到功能空间H^1和r^n的直接乘积空间的功能。他还结合了最小化尾巴的想法，他早些时候与cingolani一起开发了尾巴。另一个值得注意的特征是，这次开发的变形流具有在变形过程中在某种程度上保持函数的形状（峰）的特性，从而适合于存在奇异扰动溶液的证明。此处的方法不仅对局部问题有效，而且对于非本地问题（例如非线性choquard方程），并且通过使用这种方法，Cingolani表明存在一种奇异的扰动解决方案，该解决方案在鞍点上聚集在鞍点上，其特征在于电势V（x）的最大值点，Moutain Pass。