非局所非線形楕円型方程式に対する特異摂動解析

非局部非线性椭圆方程的奇异摄动分析

基本信息

批准号：
22K03380
负责人：
田中和永
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

特異摂動問題に対応する変形理論の整備を行った．特異摂動問題は非線形シュレディンガー方程式に代表される局所問題に対してポテンシャル V(ｘ) の極小点に凝集する解を中心に研究が行われてきた．Lyapunov-Schmidt 法が適用可能な非退化な特別な場合を除けば，ポテンシャルの極大点，鞍点に凝集する解の変分的研究は少なく，その手法も大変複雑であった (Byeon 氏と私の共同研究 Eur. Math. J 2013 等)．特に Berestycki-Lions に代表される一般的な条件下でも適用可能な deformation flow は標準的な deformation， R^N でのシフト，無限遠での最小化という３つの性格の異なる flow の iteration というものであった．ここではこの変形理論の見直しから始め，証明を大幅に簡略化し，iteration を経ずに deformation を構成した．ここでは空間でのシフトが標準的な変形理論には含まれない点に注意し，関数空間 H^1 と R^N の直積空間に拡張された汎関数に変形理論を展開している．先に Cingolani 氏と共に開発した tail minimizing のアイデアも取り入れている．さらに特筆すべき性質として，今回開発した deformation flow は deformation の課程で関数の形状(ピーク)をある程度保つという性質をもち，特異摂動解の存在証明に適するものである．局所問題のみならずここでの方法は非線形 Choquard 方程式等の非局所問題に対しても有効であり，この方法を用いることによりポテンシャル V(ｘ) の極大点，Moutain pass により特徴付けられた鞍点に凝集する特異摂動解の存在を Cingolani 氏と共に示した．

我们开发了一种处理奇异扰动问题的变形理论。奇异摄动问题的研究主要集中于非线性薛定谔方程所表示的局部问题的收敛于势 V(x) 最小点的解。除了可以应用 Lyapunov-Schmidt 方法的特殊非简并情况外，对于在潜在极大值或鞍点处聚集的解的变分研究很少，而且它们的方法非常复杂（Byeon 和 I. 联合研究 Eur数学。2013 等）。特别是，可以在 Berestycki-Lions 等一般条件下应用的变形流是具有三种不同特征的流的迭代：标准变形、R^N 移位和无穷大最小化。在这里，我们首先回顾了这个变形理论，大大简化了证明，并在不经过任何迭代的情况下构造了变形。在这里，我们注意到标准变形理论中不包括空间移位，并且我们根据扩展到函数空间 H^1 和 R^N 的直积空间的泛函来发展变形理论。它还融合了尾部最小化的想法，这是我之前与 Cingolani 先生一起开发的。我们开发的变形流的另一个值得注意的特性是，它在变形过程中在一定程度上保持了函数的形状（峰值），使其适合证明奇异摄动解的存在性。这里的方法不仅对局部问题有效，而且对非线性 Choquard 方程等非局部问题也有效，通过使用该方法，可以将势 V(x) 的极大点（以 Moutain pass 为特征的鞍点）表示为我们与 Cingolani 先生一起证明了聚合的奇异扰动解的存在。