変分的アプローチによるハミルトン力学系の研究

使用变分法研究哈密顿动力系统

基本信息

批准号：
07740130
负责人：
田中和永
金额：
$ 0.51万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1995
资助国家：
日本
起止时间：
1995 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

ハミルトン系の周期解,ホモクリニック解および非線型楕円型方程式の解の存在問題を変分的手法により研究し,次の研究実績をあげることができた.1.特異なハミルトン系に対する周期解の存在問題は,従来2体問題に関連したラグランジュ系に対してのみ考察されていた.本研究においては,より一般的なハミルトン系で特異点をもつものに対して周期解の存在を考え,ミニマックス法と有限次元近似をあわせて用いることにより,特異なハミルトン系のクラスで周期解の存在が保証されるものを得ることができた.近年,ハミルトン系の周期解の存在問題はsymplectic幾何学の視点からも重要であることが認識され,盛んに研究が行われている.特異なハミルトン系に対してはenergy surface{(p,q);H(p,q)=h}はnon-compactとなり,non-compact集合に対してsymplecticな不変量を導入する問題と密接に関連するものと思われる.この関連を研究するため現在prescribed energy problemを初めてとして研究を続行している.また特異なハミルトン系に対する周期解の多重性も重要な問題である.この問題についても現在研究を続行している.2.ホモクリニック解の存在については,non-compactなリーマン多様体上である種のラグランジュ系を考え,ミニマックス法により,その存在を得た.この結果はR^Nの場合であっても,ホモクリニック解の新しい存在結果を与えていると思われる.3.非線型楕円型方程式に関してはR^N(N【greater than or equal】3)上でΔu+K(|x|)u^<(N+2)/(N-2)>=0を考察した.この方程式は微分幾何学における山辺の問題と関連した重要な方程式である.ここでは特に球対称解u(|x|)の存在を考察し,変分的手法により,その存在を非常に一般的なK(|x|)に対して示した.従来,球対称解の存在問題はシューチング法で扱われることが多いが,変分的手法を導入することによりより一般的な存在結果を得ることができた

我们用变分方法研究了哈密顿系统周期解、同宿解和非线性椭圆方程解的存在性问题，并取得了以下研究成果： 1. 奇异哈密顿系统的周期解传统上被认为是存在性问题。仅考虑与二体问题相关的拉格朗日系统。在本研究中，我们将考虑具有奇点的更一般的哈密顿系统的存在问题。通过考虑周期解的存在性并使用极小极大法和有限维近似，我们能够得到一类保证周期解存在的奇异哈密顿系统。解的存在性问题已被认为是重要的。辛几何的视角，并得到了积极的研究。 surface{(p,q);H(p,q)=h}变得非紧，似乎与向非紧集引入辛不变量的问题密切相关。这种关系目前规定能量要研究我们正在继续我们对这个问题的首次研究。奇异哈密顿系统的周期解的重数性也是一个重要的问题。我们目前正在继续我们对这个问题的研究。2.关于同宿解的存在性，，非-紧凑雷曼我们考虑了流形上的一种拉格朗日系统，并使用极小极大方法获得了它的存在性，即使在 R^N .3 的情况下，这个结果似乎也给出了一个新的存在性结果。对于非线性椭圆方程，R^ 。 N(N[大于比或等于】3）上面，我们考虑了Δu+K(|x|)u^<(N+2)/(N-2)>=0，这个方程是微分几何中与山边问题相关的一个重要方程。我们特别考虑球对称解 u(|x|) 的存在性，使用变分法，我们证明了它对于非常一般的 K(|x|) 的存在性。传统上，球对称解的存在性问题通常使用打靶法来处理，但变分法我们能够获得更一般的结果。存在结果是通过引入