変分問題およびその非線型微分方程式への応用

变分问题及其在非线性微分方程中的应用

• 批准号: 09740123
• 负责人: 田中 和永
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1997
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1997 至 1998
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740123/
• 关键词: Variational Methods; Global Analysis; Elliptic Equations; Hamiltonian systems; Global Anlysis; Hamiltonian oystem; Ellibtic Equation

変分的手法により非線型微分方程式の解の存在問題の研究を行った.特に本年度は(1)R^Nにおけるnonlinear scalar field equation,(ii)ハミルトン系の非有界軌道の存在等を主に扱った.(i)R^Nにおけるnonhlinear scalar field equationに関しては,まず軸対称な空間依存性をもつ方程式-Δu+V(|x|)u=u^pの正値解の一意性を考察し,Kwongによる一意性の結果の非常に簡略化された証明を得ることができた.またその一意性の応用として周期ポテンシャルをもつ非線型楕円型方程式-Δu+V(x)u=u^pのあるクラスに対してmulti-bump solutionが存在することを,特に無限個の正値解が存在することを示すことができた.(ii)ハミルトン系に関しては,2体問題型のポテンシャルV(q)〜-1/(|q|^α)(α>0)に対して無限から来て無限に飛びさる軌道の変分的な構成を考え,与えられたH>0をtotal energyとしてもち,さらに与えられた入射角,出射角をもつ軌道の存在を空間次元Nに関する制限なしでstrong force条件(α>2)の下で示した.ここで空間次元が2のときは回転数を有効に利用することができ比較的容易に証明はなされるが,N 3の場合は異なりR^N＼{0}上のループ空間のtopologyに関する考察が必要不可欠となることに注意して頂きたい.なおH=0のときは古典力学における放物軌道に対応し,非常に興味ある問題であるが,その存在は今後の課題としたい.(iii)上記の(i),(ii)以外にもMoser-Trudinger型の不等式の最良指数についても研究を行い,Ogawa,Ozawaにより導入されたスケール不変なMoser-Trudinger型の不等式は有界領域の場合と異なり最良指数を達成しないことを示した.

我们使用变分方法研究了非线性微分方程解的存在性问题。特别是，今年我们重点研究了（1）R^N 中的非线性标量场方程，以及（ii）哈密顿系统中无界轨道的存在性。 (i) R^N 中的非线性标量场关于方程，我们首先考虑方程-Δu+V(|x|)u=u^p的正解的唯一性，该方程具有轴对称空间依赖性，然后将Kwong的唯一性结果大大简化作为应用。为了证明其唯一性，对于一类具有周期势-Δu+V(x)u=u^p的非线性椭圆方程，我们得到了多凸点的证明我们能够证明存在一个解，特别是存在无限多个正解 (ii) 对于哈密顿系统，二体问题类型势 V(q) ~ -1/(|q For。 |^α)(α>0)，考虑一个轨道从无穷远而来并跳跃到无穷大的变分构型，以给定的H>0作为总能量，以及给定的入射角和出射角轨道的存在性可以在不受空间维度N任何限制的情况下得到强有力的证实。它是在受力条件（α>2）下显示的。这里，当空间维数为2时，可以有效地利用旋转数，证明也相对容易，但N请注意，与情况3不同，必须考虑R^N\{0}上环路空间的拓扑。当H=0时，它对应于经典力学中的抛物线轨迹，这是一个非常有趣的问题，但它的存在将作为未来的话题。 (iii) 上述 (除了i)和(ii)之外，我们还研究了Moser-Trudinger型不等式的最佳指数，发现小川和小泽提出的尺度不变的Moser-Trudinger型不等式具有最佳指数，与事实证明，这是不可能实现的。

项目成果

K.Tanaka: "Multiple positive solutions for some nonliner ellintic systems" Topological Methods in Nonliner Analysis. 10(1)(発行予定).

K. Tanaka：“某些非线性椭圆系统的多个正解”《非线性分析中的拓扑方法》10(1)（待出版）。

K.Tanaka: "Pariodic selutions for singular Hamiltonian systems and closed geodesico on non-compact Riemannian manifolds" Ann.Inst.H.Poincare:Anal.Non Lineaire. (発表予定).

K.Tanaka：“奇哈密顿系统的奇偶解和非紧黎曼流形上的闭合测地线”Ann.Inst.H.Poincare：Anal.Non Lineaire（待提交）。

P.Felmer and K.Tanaka: "Hyparbolic-like solutions for singular Hamiltonian systems" NODEA Nonlinear Differential Equations Appl.(発表予定).

P.Felmer 和 K.Tanaka：“奇异哈密顿系统的类双曲解”NODEA 非线性微分方程应用（待提交）。

A.Ambrosetti and K.Tanaka: "On Keplerian N-body type problens" In ″Nonlinear Analysis and continurm mechanics″ (G.Brttasso, G.P.Gald., E.Lanconalli, P.Pncci ed) , Springer. 15-25 (1997)

A.Ambrosetti 和 K.Tanaka：“关于开普勒 N 体类型问题”，《非线性分析和连续力学》（G.Brttasso、G.P.Gald.、E.Lanconalli、P.Pncci 编辑），Springer 15-。 25 (1997)

Y.Kabeya and K.Tanaka: "Uniqueness of positive radial solutions of semilinear elliptic equations in R^N and Sere's non-degeneracy condition" Comm.Partial Diff.Eq.(発表予定).

Y.Kabeya 和 K.Tanaka：“R^N 和 Sere 的非简并条件下半线性椭圆方程的正径向解的唯一性”Comm.Partial Diff.Eq（待提交）。