分解定理に基づく流体および電磁気学に現れる境界値問題に対する新たな解析手法の展開

基于分解定理开发流体和电磁学边值问题的新分析方法

• 批准号: 22K03375
• 负责人: 柳沢 卓
• 金额: $ 2.5万
• 依托单位: Nara Women's University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03375/
• 关键词: 調和ベクトル場; Helmholtz-Weyl分解; 位相的不変量; Helmholtz-Weyl分解定理; 境界値問題; Navier-Stokes方程式; MHD方程式

小薗英雄，清水扇丈，M.Hieber，A.Seyfert等との共同研究により得られた，3次元Euclid空間における滑らかな境界をもつ外部領域上のLr-調和ベクトル場のなす空間の構造に関する幾つかの結果を公表した．具体的には，コンパクトではない外部領域上であっても，接線的な調和ベクトル場のなす空間Xrと法線的な調和ベクトル場のなす空間Vrは共に有限次元空間となることを示し，更にそれぞれの空間の次元と領域の位相的不変量との関係を明示的に与え，その結果を論文として公表した．公表論文においては，与えられた外部領域の境界連結成分がL個で，各境界連結成分に付随するdisjointなカット面をそれぞれN_i（i=1,2,...,L）個とると領域を単連結にすることが出来るとすれば，空間Xrの次元については，全ての1<r<∞に対して，N_1+...+N_Lで与えられることを示した．一方，空間Vrの次元については，1<r≦3/2なるrに対しては L-1，3/2<rなるrに対しては L で与えられることを示した．すなわち，外部領域上のLr-調和ベクトル場のなす空間Vrは，r=3/2を閾値としてその構造が変化するが明らかになった．このような性質は，有界領域上の調和ベクトル場のなす空間はもたないことが知られている為，外部領域上の調和ベクトル場のなす空間のもつ著しい特徴の一つと考えられる．尚，空間Xrの次元を領域の位相的不変量で決定する際に用いた手法も，既存のFoias-Temam等の方法を若干変更したものになっている．

关于LR谐波矢量场在外部区域创建的空间结构的结构已经发表了，在三维的欧几合物空间中具有平稳的边界，通过与Ozono Hideo，Shimizu Osetsu，M. Hieber，M. Hieber，A. Seyfert等通过合作而获得的空间，甚至在外部区域上，Xr XR的正常形式，XR XR的正常形式，从而获得了平稳的空间，这些空间获得了。谐波矢量场既是有限维空间，又明确给出了每个空间和该地区拓扑不变的尺寸之间的关系，结果作为论文发表。在已发表的论文中，如果获得了给定外部区域的L边界连接的组件，并且如果与每个边界连接的组件相关的n_i（i = 1,2，...，l）可以将空间XR的尺寸组成的n_1+n_l给出，则可以将与每个边界连接的组件相关联，然后将所有1 <r <∞的空间XR给出。另一方面，对于空间VR的尺寸，显示为r，而1 <r≦3/2和l为r，而l为r，而l-1给出了3/2 <r。换句话说，已经揭示了由LR-Harmonic矢量场在外部区域上形成的空间VR的结构随r = 3/2作为阈值而变化。该特性被认为是外部区域上谐波矢量场的非凡特征之一，众所周知，在边界区域上没有谐波向量场创造的空间。此外，使用区域的拓扑不变性确定空间XR的尺寸时使用的方法也从现有方法（例如Foias-Temam）中进行了稍微修改。

项目成果

3次元Lrベクトル場に対するHelmholtz-Weyl分解

3D Lr 矢量场的 Helmholtz-Weyl 分解

• 发表时间: 2023
• 期刊: 数学
• 作者: 小薗英雄;清水扇丈;柳澤卓
• 通讯作者: 柳澤卓

A Characterization of Harmonic Lr-Vector Fields in Three Dimensional Exterior Domains

• DOI: 10.1007/s12220-022-00938-8
• 发表时间: 2022-07-01
• 期刊: JOURNAL OF GEOMETRIC ANALYSIS
• 影响因子: 1.1
• 作者: Hieber, Matthias;Kozono, Hideo;Yanagisawa, Taku
• 通讯作者: Yanagisawa, Taku