Greenberg予想を中心とした岩澤理論の展開

以格林伯格猜想为中心的岩泽理论的发展

基本信息

批准号：
10J05731
负责人：
藤井俊
金额：
$ 1.79万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2010
资助国家：
日本
起止时间：
2010 至 2012
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10J05731/
关键词：
Greenberg予想虚アーベル体虚二次体 z^2_p拡大岩澤加群 Z_p^d拡大

项目摘要

本年度は、Greenberg予想について、次の結果を得た。定理.kを次数が4以上の虚アーベル体とし、pをkで完全分解する奇素数とする。もし、kの類数がpで割れず、kの最大総実部分体の岩澤不変量が全て0であれば、kとpについてGreenberg予想が成り立つ。kが虚二次体の場合はMinardi氏により、また、kが虚4次アーベル体の場合には伊藤氏によって結果が得られていたが、当該研究者によって4次以上の虚アーベル体に対しても同じ結果が得られることが示された。虚アーベル体で奇素数が完全分解するとき、もっとも基本的と思われる状況でGreenberg予想が成立することが、上記の定理によって初めて確かめられた。そのため、Greenberg予想の研究において上記の定理は大きな意義を持っていると当該研究者は考えている。またこの結果の非アーベル岩澤理論への応用も得られている。また、尾崎氏の結果により知られていた、総実代数体のZ_p拡大上の非自明な分岐の存在と、不分岐岩澤加群の非自明な疑零部分加群の存在の同値性が、虚二次体上のZ_p^2拡大でも成り立つことを確かめた。非自明な不分岐拡大の存在は、ゼータ値が与えられた素数で割れるかどうかということと関連しており、「ゼータ値が素数で割れれば、非自明な分岐が起こる」ということを示すことができれば、岩澤加群の非自明な疑零部分加群の存在を確かめることができる。Greenberg予想の研究において、非自明な疑零部分加群の存在すら自明なことではなく、上記の括弧内の主張の考えることは、今後のGreenberg予想の研究において重要であると考えられる。

今年，我们关于格林伯格猜想得到了以下结果。定理：设 k 为 4 次或以上的虚数阿贝尔域，设 p 为可被 k 完全分解的奇素数。如果k的类数不能被p整除并且k的最大总实数子域的Iwasawa不变量都为0，则格林伯格猜想对于k和p成立。当 k 为虚数二次场时，结果由 Minardi 先生得出；当 k 为虚数 4 阶阿贝尔场时，结果由 Ito 先生得出，但本研究人员已经获得了 4 阶或更高阶虚数阿贝尔场的结果。可以获得相同的结果。上述定理首次证实了格林伯格猜想在奇素数在虚数阿贝尔域中完全分解的最基本情况下成立。因此，研究者认为上述定理对于格林伯格猜想的研究具有重要意义。还获得了将该结果应用于非阿贝尔岩泽理论的结果。此外，从尾崎先生的结果可知，全实代数域的 Z_p 扩展上非平凡分岔的存在性与无支岩泽模的非平凡伪零子模的存在性之间的等价性，我们确认它对于二次域上的 Z_p^2 展开也成立。非平凡非分岔扩展的存在与zeta值是否能被给定素数整除有关，并表明“如果zeta值能被素数整除，则发生非平凡分岔”。如果我们能做到这一点，我们就可以确认岩泽模的非平凡伪零子模的存在。在格林伯格猜想的研究中，即使是非平凡伪零子模的存在性也不明显，考虑上面括号中的主张对于格林伯格猜想的未来研究将是重要的。