ウェーバーの問題と岩澤理論

韦伯问题和岩泽理论

• 批准号: 10J00057
• 负责人: 森澤 貴之
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2010
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2010 至 2012
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10J00057/
• 关键词: 類数; 円分的Z_p拡大; 高さ関数; 岩澤理論; 円単数; ウェーバーの類数問題; マーラー測度

研究員は、本年度も引き続き、ウェーバーの問題に関する研究を行った。ウェーバーの問題とは、素数pに関し、有理数体の円分的Z_p拡大の全ての中間体の類数が1であるのか、という問題である。この問題に関して、特に、pと異なる素数lについて、類数のe_非可除性に焦点をおいて取り組んだ。研究員はこの問題に対し、円単数の評価を行うことで研究を行ってきた。これまでは、この円単数に対し、そのMahler測度を計算することで、ある条件を満たす十分大きな素数lに対するl_非可除性を証明した。今年度においては、単数に対する別の高さを用いることで、よりよい評価を得ることができた。その評価を用いることで、これまでにないl_非可除性に関する結果を得た。例えば、p=2の場合には、Fukuda-Komatsuにより、lがmod32で±1と合同でない素数の場合には有理数体の円分的Z_2拡大の全ての中間体の類数はlでは割れない、ということが示されているが、我々の結果を用いると、lがmod64で士1と合同でない素数の場合には有理数体の円分的Z_2拡大の全ての中間体の類数はlでは割れないという結果を得ることができる。これは、同志社大学の岡崎龍太郎氏との共同研究で、現在、論文投稿準備中である。また、特にp=3の場合に関しては、p=3の特性を用いてさらに精密な計算を行うことで、よりよい評価を得ている。この評価を用いることで、lがmod81で±1と合同でない素数の場合には有理数体の円分的Z_3拡大の全ての中間体の類数はlでは割れない、ということを示した。この内容に関しては現在論文を執筆中である。

研究人员今年继续对韦伯问题进行研究。韦伯问题是有理数域的循环Z_p扩展的所有中间体的类数对于素数p是否为1的问题。关于这个问题，我重点关注类数的 e_nondivisibility，特别是对于与 p 不同的素数 l。研究人员一直在通过评估日元单数来研究这个问题。到目前为止，我们通过计算这个圆形奇异数的马勒测度，证明了满足一定条件的足够大的素数 l 的 l_不可整除性。今年，我们通过使用不同的单数高度获得了更好的评级。通过使用此评估，我们获得了有关 l_nondivisibility 的前所未有的结果。例如，在 p=2 的情况下，Fukuda-Komatsu 表明，如果 l 是 mod 32 并且是不等于 ±1 的质数，则有理域的循环 Z_2 扩展的所有中间体的类数数字不能被 l 整除，这就是原因。然而，使用我们的结果，如果 l 是 mod64 并且是与 shi1 不全等的素数，则有理数域的循环 Z_2 扩展的所有中间体的类数都不能被 l 整除。获得。这是与同志社大学冈崎龙太郎的联合研究项目，目前正在准备提交论文。此外，特别是在p=3的情况下，通过使用p=3的特性进行更精确的计算，获得了更好的评价。使用此评估，我们表明，如果 l 是 mod81 且不等于 ±1 的素数，则有理数域的循环 Z_3 扩展的所有中间体的类数都不能被 l 整除。我目前正在写一篇关于这个主题的论文。

项目成果

On λ-invariants of Z_l-extensions over real abelian number fields with conductors of 2-powers

关于具有 2 次幂导体的实交换数域上 Z_l 扩展的 λ 不变量

• 发表时间: 2010
• 作者: 森澤貴之

有理数体のZ_3-拡大の中間体の類数の非可除性について

论有理数域Z_3-扩张中中间体类数的不可分性

• 发表时间: 2012
• 作者: T.Morisawa

有理数体のZ_3×Z_5-拡大の中間体の類数について

关于有理数域的Z_3×Z_5-扩展的中间体的类数

• 发表时间: 2010
• 作者: 森澤貴之

円単数とウェーバーの問題

圆奇异性和韦伯问题

• 发表时间: 2010
• 作者: 森澤貴之

Onλ-invariants of Z I-extensions over Real Abelian Number Fields of Prime Power Conductors

质数电力导体实阿贝尔数域上 Z I 扩展的 Onλ 不变量

• DOI: 10.7169/facm/2012.47.1.8
• 发表时间: 2012
• 作者: T. Fukuda; K. Komatsu;T. Morisawa
• 通讯作者: T. Morisawa