木の上のランダムウォークと超距離空間上の確率過程

树上的随机游动和超度量空间上的随机过程

基本信息

批准号：
14J01798
负责人：
鈴木康平
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-25 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14J01798/
关键词：
Brown運動 Ricci曲率弱収束 GH収束 Brown運動の収束測度距離空間

项目摘要

本年度は, 測度距離空間上のBrown運動の収束について研究した. Brown運動は, 測度距離空間のdataだけから決まる標準的な拡散過程である. そのため, 空間の幾何学的な情報とBrown運動の確率過程としての振る舞いは関係しているはずである. 本年度は, 収束という点に着目して研究を行った . 測度距離空間上には, measured Gromov-Hausdorff収束という幾何学的な収束概念がある. 一方で, Brown運動には, 確率過程の弱収束という確率的な収束概念がある. 本年度の研究によって, この異なる２つの収束概念が, RCD条件と呼ばれるRicci曲率を下から抑えられた空間のクラスを考えた場合は同値であるという事がわかった. この結果によって, 空間の幾何学的収束とBrown運動の確率的な収束の関係が明らかになった. RCD条件を満たす空間は, Ricci曲率が下から抑えられたRiemann多様体だけでなく, そのmeasured Gromov-Hausdorff極限空間のような特異点をもつ多様体ではない空間などが含まれている. また, 今回の結果は有限次元空間だけでなく, 無限次元空間を含む設定で結果が得られている. 例えば, Ric曲率が下から抑えられた Riemann多様体上の配置空間などが含まれる. Riemann多様体上の配置空間は, Riemann多様体上の可算無限個の Bronw運動の配置全体を表現した空間である.

今年，我们研究了测度度量空间上的布朗运动的收敛性。布朗运动是仅由测度度量空间中的数据确定的标准扩散过程，因此，空间的几何信息和布朗运动的概率为。作为一个过程的行为应该是相关的。今年，我们的研究重点是收敛点。另一方面，在测度距离空间上，有一个几何收敛概念，称为测度Gromov-Hausdorff收敛。布朗运动有一个随机收敛概念，称为随机过程的弱收敛。今年的研究表明，这两种不同的收敛概念可用于考虑一类从下方抑制里奇曲率的空间，称为 RCD 条件。这一结果阐明了空间的几何收敛性与布朗运动的随机收敛性之间的关系。满足RCD条件的空间除了黎曼流形之外，还具有从下方抑制的里奇曲率。这包括不是具有奇点的流形的空间，例如测量的 Gromov-Hausdorff 极限空间。此外，我们的结果是在不仅包括有限维空间而且包括无限维空间的设置中获得的，例如，这包括一个配置。黎曼流形上的空间，其 Ric 曲率从下方被抑制。黎曼流形上的配置空间由可数无限个组成这是一个表达布朗运动整体布局的空间。