Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ積分量を持つ非線形楕円型方程式の正値解の存在について

具有狄利克雷积分的非线性椭圆方程正确解的存在性

基本信息

批准号：
15J12092
负责人：
内免大輔
金额：
$ 1.39万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2017-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15J12092/
关键词：
多重解の存在 Sobolev臨界問題高次元Kirchhoff型方程式

项目摘要

当該年度，私は次の２つの成果を得た：（１）高次元臨界Kirchhoff型方程式の２つの正値解の存在証明（２）Dirichlet積分量を持つ非線形楕円型方程式に対する初等的アプローチの導入とその多重解の存在証明。（１）について：東京工業大学の柴田将敬氏とともにKirchhoff型方程式の高次元における「Sobolev臨界問題」の解決に取り組んだ。高次元における「Sobolev臨界問題」はKirchhoff型方程式の持つ非局所的係数と臨界非線形項との相互作用の影響により，解くことが非常に困難な問題として知られている。これは，解の存在証明のために重要な近似解の列（Palais-Smale列）の挙動を特徴づける極限方程式の解の一意性が壊れていることに起因する。これを受け，我々は，Fibering Map法と呼ばれる変分的手法の１つを近似解の列の解析に応用するという新しいアイディアを導入し，その困難の解決に挑んだ。結果として，当該研究分野において初めて，高次元における臨界問題の解の存在を証明することに成功した。この成果は当該年度における各学会および研究集会において講演を行った。さらに，同成果は一編の論文にまとめ，学術論文誌に投稿し査読を受けている。（２）について：ここでは，それまでKirchhoff型方程式の解析法として主流であった変分的アプローチとは異なる手法を用いて，その多重解の存在証明を行った。具体的には，Kirchhoff型方程式と，ある半線形楕円型方程式のスケーリングによる対応関係を利用することで，初等的な解析法でその解の存在証明を行うことに成功した。本研究結果は１編の研究論文として，専門誌より出版された。

这一年，我获得了以下两个成果：（1）证明高维临界基尔霍夫型方程两个正解的存在性（2）引入狄利克雷积分非线性椭圆方程的初等方法并证明存在性其多种解决方案。关于(1)：我与东京工业大学的Masataka Shibata先生一起致力于解决高维基尔霍夫型方程中的“索博列夫临界问题”。由于基尔霍夫型方程的非局部系数与临界非线性项之间的相互作用，高维中的“索博列夫临界问题”极难解决。这是因为极限方程解的唯一性被打破了，它描述了近似解序列（Palais-Smale序列）的行为，这对于证明解的存在性很重要。针对这一点，我们试图通过引入一种新的思路来解决这个困难，即应用一种称为纤维图法的变分方法来分析近似解的序列。结果，我们在这个研究领域首次成功证明了高维度关键问题解的存在。这一成果在年内的各种学术会议和研究会议上发表。此外，研究结果被汇编成论文并提交给学术期刊进行同行评审。关于(2)：这里，我们使用了与分析Kirchhoff型方程的主流方法变分法不同的方法来证明多解的存在性。具体来说，他们利用基尔霍夫方程与某个基于标度的半线性椭圆方程之间的对应关系，成功地用初等解析方法证明了解的存在性。这项研究的结果作为研究论文发表在专业期刊上。