保型表現に伴うＬ関数の特殊値とＳｅｌｍｅｒ群の関係についての研究

与自同构表示相关的L函数的特殊值与Selmer群之间的关系研究

• 批准号: 12J08820
• 负责人: 平野 雄一
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2012
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2012 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-12J08820/
• 关键词: L関数の特殊値; p進L関数; Selmer群; 岩澤理論; 保型形式; Eisenstein級数; 合同加群; p進コホモロジー

今年度は、昨年度に引き続き、総実代数体F上のHilbert保型形式に伴うp進Galois表現が剰余可約な場合の2次元岩澤理論について考察をした。Fが有理数体Qの場合には、Vatsal氏のL関数の特殊値に関する結果及びGreenberg氏とVatsal氏による2次元剰余可約表現の岩澤主予想を解決した結果を一般化し、論文に纏め、投稿した。また、昨年度に得た結果を、より一般的な形で再考し、Vatsal氏のL関数の特殊値に関する結果を一般化し、論文に纏め、投稿した。後者の主結果は、あるcohomologyのtorsion-freeに関する仮定(例えば、Fが実2次体)のもとで、カスプ形式とは限らない保型形式におけるMellin変換公式をcohomologyの言葉で解釈することにより、次の2つの結果から従う :(1) Hilbert Eisenstein級数に伴うcohomology classのintegrality及びそのmod p non-vanishing ;(2) Hilbert保型形式の間の合同式からそれらに伴うcohomology classの間の合同式を導くこと。(1)の結果は、F=Qの場合のStevens氏の結果の一般化である。本結果の証明の手法は、保型形式のもつ解析的性質だけでなく、数論的性質(p進保型形式に関するAndreatta氏とGoren氏の結果)を用いたもので、Stevens氏の手法と大きく異なる。この手法の一部はSkinner氏及びBerger氏のアイデアに基づく。彼らが扱うcohomologyの次数は1だが、本研究では拡大次数[F : Q]>1である。そのため、扱うcohomologyのtorsionのコントロールはより難しくなる。本結果は彼らの結果よりさらに強く、Eisenstein級数に伴うcohomology classのintegrality及びそのmodpnon-vanishingを示している。(2)の結果は、F=Qの場合のVatsal氏の結果の一般化である。本結果の証明の手法は、Harder氏によって考案されたEisenstein cohomology理論を精密に調べた上で整p進Hodge理論を用いたものである。その手法は、Vatsal氏によるp進cohomologyにおける重複度1定理を用いた手法と異なる。この重複度1定理は、一般的に知られておらず、特に剰余可約表現の場合には解明がより難しくなる。

今年，继去年之后，我们考虑了二维岩泽理论，此时与总实代数域 F 上的希尔伯特自守形式相关的 p 进伽罗瓦表示是模可约的。当F是有理数域Q时，我们将Vatsal先生关于L函数特殊值的结果以及Greenberg先生和Vatsal先生求解二维余数可约表示的Iwasawa主猜想的结果进行推广，编译它们写成一篇论文，然后提交。我们还以更通用的形式重新考虑了去年获得的结果，概括了Vatsal关于L函数特殊值的结果，将其总结在一篇论文中，并提交了它们。后者的主要结果是在某种上同调的无扭假设下（例如，F是实二次场），用上同调的方式解释自守形式（不一定是尖点形式）的梅林变换公式。它得出以下两个结果：（1）与希尔伯特·爱森斯坦级数相关的上同调类的完整性及其 mod p 非零；（2）与它们相关的上同调来自希尔伯特自同构形式之间的同余。得出类之间的一致性。 (1)的结果是Stevens先生在F=Q情况下结果的推广。证明这个结果的方法不仅利用了自同构形式的解析性质，还利用了数论性质（Andreatta 和 Goren 关于 p 进模形式的结果），与 Stevens 的方法有很大不同。该方法部分基于斯金纳和伯杰的想法。他们处理的上同调度为1，但在本研究中，展开度为[F : Q]>1。因此，控制上同调的扭转变得更加困难。我们的结果甚至比他们的结果更强，并证明了与爱森斯坦级数相关的上同调类的完整性及其模数不消失。 (2)的结果是F=Q情况下Vatsal结果的推广。证明这个结果的方法是在仔细考察了Harder先生设计的爱森斯坦上同调理论后，使用p进Hodge理论。该方法与使用 p 进上同调中的重数 1 定理的 Vatsal 方法不同。这个重数 1 定理并不为人所知，并且在余数可约表达式的情况下特别难以求解。

项目成果

Congruences of Hilbert modular forms over real quadratic fields and the special values of L-functions

实二次域上希尔伯特模形式的同余和 L 函数的特殊值

• 发表时间: 2014
• 作者: Li Lu;Takashi Nishida;Masahiro Echizen;Yasuaki Ishikawa;Kiyoshi Uchiyama and Yukiharu Uraoka;北神慎司;池田賢司;杉戸勇気;Noriyuki Uchida;Noriyuki Uchida;内田紀之;平野 雄一
• 通讯作者: 平野 雄一