岩澤理論的手法によるイデアル類群の研究

利用岩泽理论方法研究理想班级群体

基本信息

批准号：
17J04650
负责人：
片岡武典
金额：
$ 1.09万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2017
资助国家：
日本
起止时间：
2017-04-26 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17J04650/
关键词：
岩澤理論 Selmer群 p進L関数 Fittingイデアル Coleman写像

项目摘要

今年度は主に以下の研究を行った．1.昨年度に引き続き，有理数体上の楕円曲線の岩澤理論の可換同変化について研究した．昨年度は超特異良還元を持つ場合に主予想の定式化を検討したが，今年度はそれを通常良還元を持つ場合に拡張した．より具体的には，いずれの場合でも，Coleman写像を構成して調べることで，Selmer群が主予想に現れるべき代数側の対象として適当であることを示した．また，そのColeman写像によるBeilinson-Katoのゼータ元の像がp進L関数とみなせることを示した．これらにより主予想を定式化した．次に，いくつかの仮定のもとで，その主予想の半分(一方の可除性)を証明した．このために，近年発展しているEuler系の議論を本質的に用いた．ただしEuler系の一般論から得られる結果と本研究での主予想とは定式化が大きく異なるため，その二つを結びつける議論は非自明である．最後に，こうして証明した主予想の半分を応用することで，Mazur-Tateの予想のひとつを部分的に証明した．これはC.-H. Kim-Kuriharaによる仕事の一般化である．先行研究には現れなかった新たな困難を克服するために，Fittingイデアルに関する私の昨年度の研究成果を効果的に利用した．2.pが分解する虚二次体上の，二変数可換同変岩澤理論について研究した．昨年度の研究では，その設定において代数側の対象を構成したものの，主予想の定式化が未解決だった．今年度は，Johnson-Leung-Kingsによるある種の主予想との比較を行うことにより，私の設定での主予想を導いた．その過程で，Fittingイデアルに関する昨年度までの研究を，導来圏の言葉を用いた現代的な岩澤理論の枠組みで解釈することができた．

今年，我们主要开展了以下研究。 1.继去年之后，我们研究了岩泽有理数域上的椭圆曲线理论的交换等价性。去年，我们考虑了超奇异良性归约情况下主要猜想的表述，但今年我们将其扩展到了常良性归约情况。更具体地说，在每种情况下，通过构建和检查科尔曼图，我们表明塞尔默群适合作为应该出现在主要猜想中的代数方面的对象。我们还表明，Beilinson-Kato zeta 元素的 Coleman 映射图像可以视为 p-adic L 函数。在此基础上，我们提出了主要猜想。接下来，我们在几个假设下证明了一半的主要猜想（一整除性）。为此，我们本质上使用了近年来发展起来的欧拉论证。然而，从欧拉系统的一般理论得到的结果与本研究的主要猜想在表述上有很大不同，因此任何将两者联系起来的论证都是不平凡的。最后，通过应用已证明的主要猜想的一半，我们部分证明了马祖尔-塔特猜想之一。这是 C.-H Kim-Kurihara 的工作的概括。为了克服以往研究中没有出现的新困难，我有效地运用了去年的研究成果来拟合理想。 2. 我们研究了p 分解的虚二次域上的双变量交换等变Iwasawa 理论。在去年的研究中，代数方面已在该背景下进行了讨论，但主要猜想的表述仍未解决。今年，我通过与Johnson-Leung-Kings的某类主要猜想进行比较，得出了我的设置的主要猜想。在此过程中，我能够使用派生范畴的语言来解释直到去年关于在现代岩泽理论框架中拟合理想的研究。