測度距離空間のcoarse幾何学

测度度量空间的粗略几何

基本信息

批准号：
11J01672
负责人：
北別府悠
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2013
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は前年度までに得られていた結果を具体的な場合で考察することに重点を置いた。特にcoarse Ricci曲率が効果的に働くと考えられている離散的な空間、特にCayley graphへの応用を目指して研究を進めた。リーマン幾何学でよく知られている分裂定理を一般の距離空間に曲率条件を仮定した上でGigliが証明した。その証明方法はやはり多様体の場合と同様にBusemann関数の挙動、特に調和関数であることを本質的に使って示すものである。しかしもっとも単純であると考えられるもののひとつである整数格子上ですら、Busemann関数は調和関数にならず、同様の手法は使えないと考えていた。そこでグラフ上のDirichlet問題を解くことで調和関数をグラフ上に構成し、その関数を用いて弱い意味での分裂定理を証明しようとした。そのためにcoarse Ricci曲率の下限条件からグラフのある領域上の調和関数の勾配評価を得た。これは正曲率の場合での結果であるので、非有界なグラフにはそのままでは応用が出来ず、研究が行き詰ってしまった。そこでもう一度Busemann関数の挙動を調べたところ、調和関数には成らないがある非常に性質のよい関数になることが示された。これを用いると与えられた直線上のrandom walkのL1 transportationを具体的に記述することが出来る。これを用いてCayley graphを集合として、適切な二つの集合の直積として表せることがわかった。Coarse Ricci曲率の幾何学的な意味がこれにより明らかになればますます研究が進み、幾何群論の研究とも交差するよい対象になると信じている。

今年，重点是考虑上一年在特定情况下获得的结果。特别是，我们进行了研究，以适用于离散空间，尤其是Cayley图，这被认为与粗糙的Ricci诅咒有效地工作。吉利（Gigli）证明了，假设在一般距离空间中有曲率条件，这在雷曼几何形状中是众所周知的。证明方法实际上是使用Busemann函数的行为，尤其是和谐函数，例如在多种情况下。但是，即使是最简单的整数晶格之一，也认为Busemann函数不可能是和谐的函数，也无法使用相同的方法。因此，通过在图上求解Dirichlet问题，在图上配置了和谐函数，并使用该函数在弱含义上证明了分裂定理。因此，从粗糙的Ricci诅咒曲率的下限获得了该区域中和谐函数的梯度额定值。由于这是正常歌曲速率的结果，因此该研究并未像以前一样应用于非相关图，并且该研究被卡住了。因此，再次，Busemon函数的行为表明，这将是一个很好的功能，不可能是和谐的功能。通过使用此功能，您可以专门描述直线上的随机步行L1传输。使用此过程，发现Cayley图可以作为两个合适集的直接乘积设置。我相信，如果粗ricci曲率的几何含义变得清晰，研究将越来越多，并且与几何研究相交，这将是一个很好的主题。