ランダムウォークを持つ距離空間とその位相

随机游走的度量空间及其拓扑

• 批准号: 14J01364
• 负责人: 北別府 悠
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Kumamoto University (2016)Kyoto University (2014-2015)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2014
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2014-04-25 至 2017-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14J01364/
• 关键词: 曲率次元条件; RCD 空間; 測度距離空間; リーマン幾何; リッチ曲率; 曲率次元条件; RCD 空間; 測度距離空間; リーマン幾何; リッチ曲率

本年度は前年度に引き続き, RCD 空間と呼ばれる測度距離空間についての研究を続けた. Bishop 型不等式を満たすような RCD 空間についての性質についてまとめて論文として発表した. このような空間を考える一つの動機としては, 非崩壊 Ricci limit 空間と呼ばれる解析しやすい対象の類似物を RCD 空間にも定義することにあった. その試みは正則集合の一意性, Hausdorff 次元の整数性, 接錐が距離錐になることなどを示せたことである程度成功したと言って良い. しかしこの二つのクラスは完全に一致しているわけではない. 実際非崩壊の Ricci limit 空間ではないような Bishop 型不等式を満たす RCD 空間は実際に論文の中で具体例を挙げている. この二つのクラスはどれほど異なっているのであろうか. 論文で例に挙げている空間はユークリッド空間内の閉凸集合であり, その測度は通常の Hausdorff 測度になっている. そこで一般に Bishop 型不等式を満たす RCD 空間の測度は Hausdorff 測度かという疑問が生じる. 現在そこまでは証明できてはいないが, 互いに絶対連続であることはすでに分かっている. 現在解析的な手法を用いてこれを証明しようとしているが, その過程でやはり正則集合の分布が大事であることに気づいた. まだ preprint の状態であるが, 正則集合が正測度を持つための十分条件を一つ得たのでそれについても現在研究を引き続き行っている.

今年，在上一年之后，我继续研究称为RCD空间的测得的距离空间。我发表了一篇关于满足主教类型不平等的RCD空间特性的论文。思考此类空间的一种动机是定义RCD空间中的类似对象，称为无污点RICCI限制空间。通过显示常规集的独特性，豪斯多夫尺寸的整体性以及圆锥为距离锥体，这种尝试在某种程度上取得了成功。但是，这两个类并不完全一致。实际上，在本文中给出了满足主教型不平等的RCD空间，实际上并非没有解决的RICCI限制空间。这两个类别有何不同？论文中提到的空间是欧几里得空间中的封闭凸，其度量是通常的豪斯多夫度量。因此，通常值得怀疑的是，满足主教类型不平等的RCD空间的度量是否是Hausdorff的措施。尽管尚未得到证明，但已经知道它是绝对连续的。我们目前正在尝试使用一种分析方法来证明这一点，但是在此过程中，我们意识到常规集的分布很重要。尽管它仍处于预印态状态，但我们已经获得了一个足够的条件，可以使常规套件具有正面措施，因此我们正在继续研究这一点。