層や導来圏の理論を用いた組合せ論的可換代数の研究

利用滑轮理论和派生范畴研究组合交换代数

基本信息

批准号：
15740014
负责人：
柳川浩二
金额：
$ 2.18万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度に執筆した論文"Dualizing complex of the incidence algebra of finite regular cell complex"と"Castelnuovo-Mumford regularity for complexes and weakly Koszul modules"が,今年度に入って学術雑誌に受理された.特に前者は,受理される前に大幅な加筆を行い,組合せ論的な側面(正則胞体分割の半順序集合としての「メビウス関数」など)を強化している.また,今年度に得られた結果として,「アファイン半群環K[C]の被約な単項式イデアルIによる剰余環(最近では,"toric face ring"等と呼ばれるもの)の"sequentially Cohen-Macaulay"性(以下"seq.CM"と略す)は,Iに付随するpolytopal complexの位相的性質(と体Kの標数)のみによって定まる」を示したこと等が挙げられる.論文は,現在執筆中である.toric face ringのCohen-Macaulay性が位相的性質であることは(K[C]が多項式環の場合のMunkresの著名な結果の一般化であるが),20年前Stanleyによって証明されており,筆者も数年前,層の理論を用いた別証明を与えている.今回の結果は,この筆者自身の論法の発展である(Stanleyの証明は,Yuzvinskyによる"section ring"の理論の応用であるが,seq.CM性の場合に,この論法を用いるのは困難かと思われる).なお,seq.CMは,Cohen-Macaulayを一般化した概念で,近年では,"shifting"や"non-pure shellability"との関連から,「組合せ論的可換代数」での重要性が増している.

我去年写的论文，“有限正则元胞复数的关联代数的对偶复数”和“复数和弱 Koszul 的 Castelnuovo-Mumford 正则性” “模块”在本财年被学术期刊接受。特别是，前者在被接受之前经历了重大补充，并且组合方面（“莫比乌斯函数作为一组部分有序的常规细胞分裂”）另外，作为今年获得的结果，我们通过仿射半群环K[C]的约化单项式理想I强化了“留数环”（最近，我们强化了“复曲面”）。面环”）。 “环”等的“顺序Cohen-Macaulay”性质（以下简称“seq.CM”）仅由与I相连的多拓扑复合体的拓扑性质（骨架场K的特征）决定。目前正在撰写论文。Toric 面环的 Cohen-Macaulay 性质是拓扑性质这一事实（当 K[C] 是多项式环时，它是 Munkres 著名结果的推广）这一事实已由 Stanley 于 20 年前证明，而且作者也在几年前证明了之前，我用滑轮理论给出了另一个证明。目前的结果是作者自己推理的发展（斯坦利的证明基于尤兹文斯基的部分）这是“环”理论的一种应用，但在seq.CM性质的情况下似乎很难使用这种推理）。另外，seq.CM是一个概括了Cohen-Macaulay的概念，近年来，由于它与“移位”和“非纯可壳性”的关联，它在“组合交换代数”中变得越来越重要。