流体力学的非線形安定性問題に対する計算機援用証明

流体动力学非线性稳定性问题的计算机辅助证明

基本信息

批准号：
15740067
负责人：
渡部善隆
金额：
$ 2.37万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

前年度までに得られた成果をもとに高Rayleigh数に対する非線形偏微分問題である2次元Oberbeck-Boussinesq方程式の定常解の存在検証を行なった.方程式は流体の粘性を規定するパラメータであるRayleigh数が大きくなるほど非線形項が支配的となり,計算が不安定になることが知られている.この問題点を回避するため,問題を残差引き戻しの形式に変換し,解の存在検証条件を導き,数値実験を行なった.併せて3次元問題への拡張を試み,原理的な適用可能性を確認した.さらに,これらの成果を踏まえ,2次元問題に対する対称性破壊分岐点の存在検証を行った.Oberbeck-Boussinesq方程式は,Rayleigh数をパラメータとして様々な分岐を起こすことが数値的に知られている.ただし理論的に得られている知見は自明解からの分岐のみであり,非自明解からの分岐点の存在証明は得られていなかった.本研究では,分岐点における特異性を回避するためにOberbeck-Boussinesq方程式と線形化方程式によって構成される拡大方程式を与え,分岐点が存在するための条件を対称性破壊分岐理論を援用することにより導いた.さらに,拡大方程式の解の存在検証条件の定式化を行ない,検証アルゴリズムおよび検証結果を与えた.加えて,分岐曲線追跡のための数値計算スキームとともに大規模数値計算に適応したアルゴリズムの高速化・並列化を検討した.以上の研究成果によって,流体力学的非線形安定性問題,特に熱対流問題の解の大域的構造を把握するための基盤を構築することができた.

基于前一年获得的结果，我们验证了二维 Oberbeck-Boussinesq 方程稳定解的存在性，该方程是高瑞利数的非线性偏微分问题。众所周知，数字越大，非线性项越多，计算就越不稳定。为了避免这个问题，我们我们将其转换为减法反格式，导出了验证解存在性的条件，并进行了数值实验。我们还尝试将其扩展到三维问题，并在原理上证实了其适用性。此外，基于这些结果，我们，我们验证了二维问题对称破缺分岔点的存在性。从数值上可知，Oberbeck-Boussinesq 方程以瑞利数为参数会引起各种分岔。然而，理论上获得的知识只是关于平凡解的分岔，并没有获得非平凡解的分岔点存在的证据。在本研究中，我们研究了分岔点处的奇异性来避免这种情况。，我们给出了由Oberbeck-Boussinesq方程和线性化方程组成的展开方程，并利用对称破缺分岔理论推导了分岔点存在的条件。此外，我们制定了验证展开方程解存在性的条件，并给出了验证算法和验证结果。此外，我们提出了追踪分岔曲线的数值计算方案，以及加速算法适应上述研究成果为理解流体动力学非线性稳定性问题，特别是热对流问题的解的整体结构奠定了基础。