曲面上の主分布および主曲率関数の振る舞い(外在的な性質と内在的な性質の関係)

曲面上主分布和主曲率函数的行为（外在属性和内在属性之间的关系）

基本信息

批准号：
15740041
负责人：
安藤直也
金额：
$ 2.37万
依托单位：
Kumamoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

まず今年度の研究実績を大まかに述べる:臍点を持たない曲面でその上の主分布の一つの積分曲線が全て測地線であるようなものを調べ,特にこのような曲面の曲率線を内在的におよび外在的に特徴づけた.まず曲率線の内在的な特徴づけについて説明する.臍点を持たない曲面は第一基本形式と二つの主分布(各点で主方向を与える1次元分布)からなる準曲面構造を持つ.以下のように曲面の準曲面構造を第一基本形式の局所的な表現の仕方によって特徴づけた.(u,υ)のを主分布と相性が良い局所座標とする.主分布の一つの積分曲線が全て測地線であるので,第一基本形式は局所的に、A^2du^2+dυ^2と表される(逆に第一基本形式がこのように表される曲面の主分布の一つの積分曲線は全て測地線である).Gauss曲率Kが恒等的に零であるならば,Aは局所的にA=α(u)υ+1と表わされる.Kは零にはならないと仮定する.このときAはA(u,υ)=1+A_1(u)A_2(u,υ)と表される,但しA_2は(A_2)_υ=sin(α_1(u)+α_2(υ))を満たしまたA_1,α_1,α_2は1変数関数でA_1>0およびα_1(u)+α_2(υ)∈(-π/2,π/2)を満たす.α_1が定数であることと曲面の各点の近傍が標準的な主方向平行曲面であることは同値である.また曲面の曲率線の空間曲線としての曲率および捩率を特徴づけた.Gauss曲率は零にならないと仮定する.測地線である曲率線の各々はある平面に含まれ,曲面の各点の近傍をうまく選ぶと測地線である曲率線は互いに合同になる.またもう一つの曲率線の族が平面曲線からなることと曲面の各点の近傍が標準的な主方向平行曲面であることは同値である.一般にこれら曲率線の曲率kおよび捩率_Tは上述のA, A_1,α_1を用いてそれぞれk=A_1/A, T=α'_1/Aと表される.以上のことに注意すると,今考察している曲面は二つある曲率線の族のそれぞれから互いに交わる曲線を一つずつとるとこれらによって局所的に決定されることがわかる.標準的な主方向平行曲面に対してはこのような曲線の対を生成対(generating pair)と呼んだ.Gauss曲率が恒等的に零であるときも,類似の結果が得られる.

首先，我将简要介绍一下今年的研究成果：我们研究了没有脐点的表面，其主分布的一条积分曲线都是测地线特征的。首先，我们将解释曲率线的固有特征。没有脐点的曲面具有由第一基本形式和两个主分布（给出每个点的主方向的一维分布）组成的准表面结构。表面的准表面结构是第一个基础这种形式的特点是采用局部表达方式。设(u, υ)为与主分布兼容的局部坐标，由于主分布的所有积分曲线都是测地线，所以第一基本形式是局部A^2du。 ^2+杜^ 2（相反，以这种方式表达第一基本形式的曲面的主分布的一条积分曲线是全测地线）。如果高斯曲率 K 恒等为零，则 A 局部表示为 A=α(u )ν+1.K在这种情况下，A 表示为 A(u,υ)=1+A_1(u)A_2(u,υ)，其中 A_2 为 (A_2)_υ=sin(α_1(u )+α_2(υ)。 )) 和 A_1,α_ 1、α_2是一变量函数，满足A_1>0且α_1(u)+α_2(υ)ε(-π/2,π/2)，α_1是常数，曲面上各点的邻域为。相当于它是一个基本平行的曲面。我们将曲面的曲率线的曲率和挠率表征为空间曲线。假设高斯曲率不为零。每条曲率线都是测地线，包含在某个平面内，并且曲面上每个点的邻域是一首曲子，如果选得好，就是测地线。曲率线彼此全等。另一族曲率线由平面曲线组成，这一事实等价于曲面各点附近是标准的基本平行曲面。一般来说，这些曲率线曲率 k 和 torsion_T 为 A，使用 A_1 和 α_1，它们分别表示为 k=A_1/A 和 T=α'_1/A。记住上述内容，我们现在考虑的曲面有两个曲率线族，每个曲率线都有一个如果我们一条一条地获取相交曲线，我们可以看到它们是局部确定的。对于一个标准的基本平行的曲面，我们可以生成多对这样的曲线。当高斯曲率全为零时也能得到类似的结果。