曲面上の主方向分布の振る舞い

曲面上主方向分布的行为

基本信息

批准号：
01J02249
负责人：
安藤直也
金额：
$ 1.54万
依托单位：
Kumamoto University (2002)Tokyo Metropolitan University (2001)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

1.LawsonはS^3の中に任意種数のコンパクト向き付け可能な極小曲面を構成したが,その中で種数2のものは指数-1の孤立臍点を2つ有するものと指数-1/2の孤立臍点を4つ有するものがあった(厳密な議論はまだ行っていない).Hopf-Poincareの定理によると,種数2の極小曲面の孤立臍点の個数と各孤立臍点の指数の取り得る値は上述のもの以外に次のものがある:(a)指数-2の孤立臍点1つ;(b)指数-3/2の孤立臍点1つと指数-1/2の孤立臍点1つ;(c)指数-1の孤立臍点1つと指数-1/2の孤立臍点2つ.種数2のコンパクト向き付け可能な2次元可微分多様体上には(c)のような一次元分布は存在する一方で(a), (b)のような一次元分布は存在しないことがわかった(このことを厳密に表現するには至っていない).従って(c)については極小曲面としての存在を今後吟味したい.ところで以上の議論を一般化しようと試み,次の予想に至った:gを2以上の整数とし,i_1,...,i_m (m∈N)は半整数(つまりある整数の半分と表される有理数)でΣ^m_<j=1> i_j=2-2gを満たすとするとき,コンパクト向き付け可能かつ種数gの2次元可微分多様体上にi_1,...,i_mを指数とするm個の特異点を有する一次元分布が存在するための必要十分条件は整数n∈{1,2,...,m-1}が存在してi_1,...,i_mの添え字を適当に置き換えることによってΣ^n_<j=1> i_j=Σ^m_<j=n+1> i_jを得ることができることである.g-0または1の場合には反例が存在する.2.Willmore曲面上の孤立臍点の指数は1/2以下であることを示した;KusnerによるWillmore射影平面の例とHopf-Poincareの定理により,指数についてのこの評価は最良であることがわかる.Willmore曲面をR^3∪{∞}の共形変換によってうつすとその像はやはりWillmore曲面であることがわかるので,孤立臍点の近傍を次数が0,1,2の偏微分係数が(0,0)で全て0であるような二変数関数Fのグラフとして表すことができる.一方Hartman-Wintnerの結果から,(0,0)でのFの全ての偏微分係数は0ではないことがわかる.そして孤立臍点に関して私が今までに行なってきた研究方法を用いて,大体の場合に孤立臍点の指数は1/2以下であることがわかる.私が今までに扱ったことがない状況が現れたが,このときにも1/2以下であることを示すことができた.

1.Lawson在S^3中构造了任意属的紧致可定向极小曲面，其中属2的一个有两个索引为-1的孤立脐点，而索引为-1的一个有四个孤立的脐点。 1/2（尚未进行严格的讨论）。根据Hopf-Poincare定理，属2的最小曲面和每个孤立脐的孤立脐点的个数为除了上面列出的值之外，点索引的可能值还有： (a) 一个索引为 -2 的孤立脐点； (b) 一个索引为 -3/2 的孤立脐点和一个索引为 -3/2 的孤立脐点；索引 -1/ 1 2 的孤立脐点；(c) 手指一个编号为 -1 的孤立脐点和两个索引为 -1/2 的孤立脐点。在属 2 的紧致可定向二维可微流形上存在像 (c) 这样的一维分布。而 (a)，我们发现像(b)这样的一维分布并不存在(我们还不能严格地表达这一点)。因此，我们希望将来检查(c)作为最小曲面的存在性。通过顺便说一句，我试图概括上述讨论并得出以下猜想：设 g 为大于或等于 2 的整数，且 i_1,...,i_m (m∈N) 是半整数（即表示为整数的一半的有理数）且 Σ^m_<j=1>当i_j=2-2g时，属g的紧可定向二维可微流形上存在索引为i_1,...,i_m的具有m个奇点的一维分布整数存在的充要条件。 nε{1,2,...,m-1} 是 Σ^n_<j= 通过适当替换 i_1,...,i_m 1> 的下标i_j=Σ^m_<j=n+1>可以得到i_j。在g-0或1.2的情况下存在反例。我们通过Kusner Plane例子和Hopf-Po证明了Willmore表面上的孤立脐点的指数小于1/2； Incare定理表明，这种评价指标是最好的。如果我们通过R^3∪{∞}的共形变换来转移Willmore曲面，我们可以看到图像仍然是一个Willmore曲面，因此我们可以看到孤立的脐点的邻域为它可以表示为二元函数 F 的图形，使得数字 0、1、2 的偏微分系数在 (0, 0) 处均为 0。另一方面，从 Hartman-Wintner 结果中，我们发现即在 (0, 0) 处，F 的所有偏导数都不为 0。使用我对孤立脐点进行的研究方法，我发现大多数情况下孤立脐点的指数小于1/2。这是我以前从未处理过的情况，但即使在这种情况下也出现过。我们能够证明它小于 1/2。