はめ込み理論の幾何的様相と有限型不変量及び特異点理論との関係

插入理论的几何方面与有限类型不变量和奇点理论之间的关系

基本信息

批准号：
03J08036
负责人：
高瀬将道
金额：
$ 2.18万
依托单位：
Yokohama National University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

3本の論文をまとめ、うち2本が雑誌に受理された。残りの1本も既に投稿済みである。受理されたうちの1つめの論文では、3次元ホモロジー球面の6次元球面への滑らかな埋め込みに対してそのザイフェルト膜の言葉によって整数値の不変量を定義した。次にこの不変量が与えられた埋め込みのイソトピー類の完全不変量になることを示した。これを用いてこのような埋め込みのホモロジーボルディズム類を完全に記述することに成功した。結果として、3次元ホモロジー球面の6次元球面への二つの滑らかな埋め込みがイソトピックである必要充分条件はそれらがホモロジーボルダントであることを示した。ここで与えた不変量はその記述が、KuperbergとThurstonによるキャッソン不変量の記述に似通っていて、それとの関係も非常に興味深い。二つめの論文では、3次元有向多様体の4次元空間へのはめ込みの有向ボルディズムを特異ザイフェルト膜の言葉で記述した。代数トポロジーの立場から見ると次数3の安定ホモトピー群に新しい解釈を与えていると言える。また微分可能写像の特異点論の立場から見ると、トム多項式の境界付バージョンを得ているとも言える。そのほか、4次元球面の7次元球面への滑らかな埋め込みや余次元が3以上の埋め込みに対するスピニングについて精力的に研究を進めている。主に低(3、4)次元多様体の高(5、6、7)次元多様体への埋め込み・はめ込みを非常に幾何的な手法で研究しており、全体として「中次元トポロジー」とも呼べるような新しい研究分野を開拓しつつある。

我撰写了三篇论文，其中两篇被期刊接收。剩下的一张已经发了。第一篇被接受的论文定义了一个整数值的不变量，用于根据其 Seifert 膜将 3 维同调球平滑嵌入到 6 维球中。接下来，我们证明这个不变量成为给定嵌入的同位素类的完全不变量。利用这一点，我们成功地完整地描述了此类嵌入的同调 bordism 类。结果表明，3D 同源球体两次平滑嵌入 6D 球体成为同位素的充分必要条件是它们是同源粗体。这里给出的不变量的描述与Kuperberg和Thurston对Casson不变量的描述类似，并且与其之间的关系也很有趣。在第二篇论文中，我用奇异 Seifert 膜描述了将三维有向流形拟合到四维空间的有向边界。从代数拓扑的角度来看，可以说这对3次稳定同伦群给出了新的解释。另外，从可微映射的奇点理论的角度来看，可以说我们已经获得了 Thom 多项式的有界版本。此外，我们正在积极研究将 4 维球体平滑嵌入到 7 维球体中，并旋转以实现余维为 3 或更大的嵌入。我们主要研究使用高度几何方法将低（3, 4）维流形嵌入/拟合到高（5, 6, 7）维流形，整体上也可以称为“中维拓扑”的新研究。领域正在开发中。