Singularities of intrinsic geometric structures and applications to surfaces and hypersurfaces in Lorentzian spacetimes

内在几何结构的奇异性及其在洛伦兹时空中的曲面和超曲面的应用

基本信息

批准号：
19K14526
负责人：
本田淳史
金额：
$ 2.41万
依托单位：
Yokohama National University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

ローレンツ・ミンコフスキー空間の正則曲面に対し，その接空間が光的部分空間であるような点を光的点という．光的点は，曲面の第一基本形式(誘導計量)の退化点として特徴づけられ，計量の特異点とみなされる．ローレンツ・ミンコフスキー空間の連結な正則曲面で空間的点，時間的点，光的点を含むものを混合型曲面という．それらの第一基本形式(誘導計量)は，定義域の2次元多様体に混合型計量を定める．逆に，与えられた混合型計量を持つ2次元多様体は，ローレンツ・ミンコフスキー空間の混合型曲面として等長的に実現(等長埋め込み)できるだろうか．正定値計量の場合にはJanet-Cartanの定理により，与えられた実解析的な2次元リーマン多様体は，3次元ユークリッド空間の曲面として局所的に等長的に実現できることが知られている．研究代表者は，以前の研究（arXiv: 1908.01967）において，与えられた混合型計量を持つ2次元多様体は，実解析的かつジェネリックな場合には，ローレンツ・ミンコフスキー空間の混合型曲面として局所的に等長的に実現できることを示した．そこで，実解析性の仮定を弱めることができるかどうかを調べた．螺旋曲面に対してはBourの補題により，非自明な等長変形の存在が明示的な写像で与えられることが知られている．研究代表者は，そのようなBourの補題を混合型曲面に拡張することに成功した．鍵となるのは，混合型曲線の標準的パラメータの存在を示すことである．この結果により，上記の実解析的な混合型計量の等長実現定理を，余等質性1の混合型計量であれば滑らかなクラスに拡張できることがわかった．

洛伦兹-闵可夫斯基空间中与正则曲面的切线空间是光学子空间的点称为光学点。光点的特征是表面第一基本形式（归纳度量）的简并点，并被视为度量的奇异点。 Lorentz-Minkowski 空间中包含空间点、时间点和光学点的连通正则曲面称为混合曲面。它们的第一个基本形式（归纳度量）定义了域的二维流形上的混合度量。相反，具有给定混合度量的二维流形可以等距（等距嵌入）实现为洛伦兹-闵可夫斯基空间中的混合表面吗？在正定度量的情况下，已知根据 Janet-Cartan 定理，给定的实解析二维黎曼流形可以局部等距地实现为三维欧几里得空间中的表面。在之前的一项研究（arXiv：1908.01967）中，主要研究者提出，在真实解析和通用情况下，具有给定混合度量的二维流形可以局部表示为 Lorentz-Minkowski 空间中的混合曲面。它可以等轴测地实现。因此，我们研究了是否可以削弱真实分析性假设。众所周知，对于螺旋表面，非平凡等距变形的存在可以通过使用布尔引理的显式映射来给出。首席研究员成功地将布尔引理扩展到混合曲面。关键是要证明混合曲线标准参数的存在。该结果表明，上述实分析混合度量的等距实现定理可以扩展到具有同质性 1 的混合度量的平滑类。